1.2 Uplets et matrices

Soit A un ensemble. Soient m et n des entiers positifs.

Un n-uplet dont les éléments appartiennent à A est un tableau à 1 dimension de n éléments de A. L’ensemble de tous les n-uplets dont les éléments appartiennent à A est dénoté par An. Un n-uplet xAn s’écrit comme une colonne d’éléments : x=[x1xn].

Exemple 1.1 Le 2-uplet [37] est un élément de Z2.

Une matrice de taille m×n dont les éléments appartiennent à A est un tableau à 2 dimensions d’éléments ai,j, où i=1,,m et j=1,,n. (Parfois, on écrit aij plutôt que ai,j si l’absence de la virgule ne porte pas à confusion.) L’ensemble de toutes les matrices de taille m×n dont les éléments appartiennent à A est dénoté par Am×n. Une matrice XAm×n est écrit comme un tableau d’éléments ayant m lignes et n colonnes à l’intérieur de parenthèses carrées : X=[x1,1x1,2x1,nx2,1x2,2x2,nxm,1xm,2xm,n].

Exemple 1.2 L’ensemble Q2×3 contient entre autre les matrices suivantes : [130154], [011210.54],

Remarque. Un n-uplet est effectivement une matrice de taille n×1.

1.2.1 Arithmétique des uplets

Soient un ensemble A et n un entier positif.

Si A est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication de deux éléments, alors l’addition d’uplet et la multiplication par un scalaire peuvent être définis pour An de la façon suivante :

Pour x,yAn, où n est un entier positif, x+y est le n-uplet dont le i-ième élément est donné par xi+yi, pour i=1,,n.

Exemple 1.3 [123]+[456]=[1+42+53+6]=[579].

Pour xAn un n-uplet et α un nombre, alors, αx est le n-uplet obtenu de x en multipliant chaque élément par α.

Exemple 1.4 2 [123]=[2×12×22×3]=[246].

Exemple 1.5 2 [21/2]=[21].

Notons que si u et v sont des n-uplets de nombres, uv est défini par u+(1)v, ce qui mène à la notion de soustraction d’uplets.

Exemple 1.6 [12][21]=[12]+[21]=[13].

Exercices

  1. Simplifiez [23]3[12].

  2. Simplifiez [2310][0140]+2 [1011].

Solutions

  1. [53].

  2. Notons que [2310][0140]+2 [1011]=[20311400]+[2022]=[2230]+[2022]=[2+22+03+20+2]=[4212].