1.2 Uplets et matrices
Soit \(A\) un ensemble. Soient \(m\) et \(n\) des entiers positifs.
Un \(n\)-uplet dont les éléments appartiennent à \(A\) est un tableau à 1 dimension de \(n\) éléments de \(A\). L’ensemble de tous les \(n\)-uplets dont les éléments appartiennent à \(A\) est dénoté par \(A^n.\) Un \(n\)-uplet \(\mathbf{x} \in A^n\) s’écrit comme une colonne d’éléments : \[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}.\]
Exemple 1.1 Le \(2\)-uplet \(\begin{bmatrix} 3 \\ -7 \end{bmatrix}\) est un élément de \(\mathbb{Z}^2.\)
Une matrice de taille \(m\times n\) dont les éléments appartiennent à \(A\) est un tableau à 2 dimensions d’éléments \(a_{i,j}\), où \(i = 1,\ldots,m\) et \(j =1,\ldots,n.\) (Parfois, on écrit \(a_{ij}\) plutôt que \(a_{i,j}\) si l’absence de la virgule ne porte pas à confusion.) L’ensemble de toutes les matrices de taille \(m\times n\) dont les éléments appartiennent à \(A\) est dénoté par \(A^{m \times n}.\) Une matrice \(\mathbf{X} \in A^{m\times n}\) est écrit comme un tableau d’éléments ayant \(m\) lignes et \(n\) colonnes à l’intérieur de parenthèses carrées : \[\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{bmatrix}.\]
Exemple 1.2 L’ensemble \(\mathbb{Q}^{2 \times 3}\) contient entre autre les matrices suivantes : \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 1 & 5 & 4\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & \frac{1}{2}\\ -1 & 0.5 & 4\end{bmatrix}\),
Remarque. Un \(n\)-uplet est effectivement une matrice de taille \(n \times 1\).
1.2.1 Arithmétique des uplets
Soient un ensemble \(A\) et \(n\) un entier positif.
Si \(A\) est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication de deux éléments, alors l’addition d’uplet et la multiplication par un scalaire peuvent être définis pour \(A^n\) de la façon suivante :
Pour \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in A^n\), où \(n\) est un entier positif, \(\mathbf{x} + \mathbf{y}\) est le \(n\)-uplet dont le \(i\)-ième élément est donné par \(x_i + y_i,\) pour \(i = 1,\ldots,n.\)
Exemple 1.3 \[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix}.\]
Pour \(\mathbf{x} \in A^n\) un \(n\)-uplet et \(\alpha\) un nombre, alors, \(\alpha \mathbf{x}\) est le \(n\)-uplet obtenu de \(\mathbf{x}\) en multipliant chaque élément par \(\alpha\).
Exemple 1.4 \[2~\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\times 1 \\ 2\times 2 \\ 2\times 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}.\]
Exemple 1.5 \[\sqrt{2}~\begin{bmatrix} \sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}.\]
Notons que si \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\) sont des \(n\)-uplets de nombres, \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\) est défini par \(\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v},\) ce qui mène à la notion de soustraction d’uplets.
Exemple 1.6 \[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}.\]
Exercices
Simplifiez \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}- 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}.\)
Simplifiez \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}+ 2~\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}.\)
Solutions
\(\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}.\)
Notons que \[\begin{align*} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} + 2~\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 2-0 \\ 3-1 \\ 1-4 \\ 0 - 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2+2 \\ 2+0 \\ -3+2 \\ 0+2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}. \end{align*}\]