1.2 Uplets et matrices
Soit A un ensemble. Soient m et n des entiers positifs.
Un n-uplet dont les éléments appartiennent à A est un tableau à 1 dimension de n éléments de A. L’ensemble de tous les n-uplets dont les éléments appartiennent à A est dénoté par An. Un n-uplet x∈An s’écrit comme une colonne d’éléments : x=[x1⋮xn].
Exemple 1.1 Le 2-uplet [3−7] est un élément de Z2.
Une matrice de taille m×n dont les éléments appartiennent à A est un tableau à 2 dimensions d’éléments ai,j, où i=1,…,m et j=1,…,n. (Parfois, on écrit aij plutôt que ai,j si l’absence de la virgule ne porte pas à confusion.) L’ensemble de toutes les matrices de taille m×n dont les éléments appartiennent à A est dénoté par Am×n. Une matrice X∈Am×n est écrit comme un tableau d’éléments ayant m lignes et n colonnes à l’intérieur de parenthèses carrées : X=[x1,1x1,2⋯x1,nx2,1x2,2⋯x2,n⋮⋱⋮xm,1xm,2⋯xm,n].
Exemple 1.2 L’ensemble Q2×3 contient entre autre les matrices suivantes : [1−30154], [0112−10.54],
Remarque. Un n-uplet est effectivement une matrice de taille n×1.
1.2.1 Arithmétique des uplets
Soient un ensemble A et n un entier positif.
Si A est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication de deux éléments, alors l’addition d’uplet et la multiplication par un scalaire peuvent être définis pour An de la façon suivante :
Pour x,y∈An, où n est un entier positif, x+y est le n-uplet dont le i-ième élément est donné par xi+yi, pour i=1,…,n.
Exemple 1.3 [123]+[456]=[1+42+53+6]=[579].
Pour x∈An un n-uplet et α un nombre, alors, αx est le n-uplet obtenu de x en multipliant chaque élément par α.
Exemple 1.4 2 [123]=[2×12×22×3]=[246].
Exemple 1.5 √2 [√21/√2]=[21].
Notons que si u et v sont des n-uplets de nombres, u−v est défini par u+(−1)v, ce qui mène à la notion de soustraction d’uplets.
Exemple 1.6 [12]−[2−1]=[12]+[−21]=[−13].
Exercices
Simplifiez [23]−3[−12].
Simplifiez [2310]−[0140]+2 [1011].
Solutions
[5−3].
Notons que [2310]−[0140]+2 [1011]=[2−03−11−40−0]+[2022]=[22−30]+[2022]=[2+22+0−3+20+2]=[42−12].