6.6 Espaces vectoriels de dimension infinie

Ce ne sont pas tous les espaces vectoriels qui sont engendrés par un nombre fini de vecteurs. Un tel espace vectoriel est dît de dimension infinie. Voici maintenant un exemple d’un espace vectoriel de dimension infinie.

Soit \(P\) l’espace vectoriel de tous les polynômes en \(x\) à coefficients dans \(\mathbb{Q}\). (Il n’est pas difficile de vérifier que \(P\) est un espace vectoriel muni de l’addition de polynômes et de la multiplication d’un polynôme par un nombre rationnel.) Par exemple, les vecteurs suivants sont éléments de \(P\): \[\begin{gather*} 5, \\ x^{1000} + 2x, \\ x^4 + x^3 - x^2 + 8. \end{gather*}\] La somme des deux premiers donne \(x^{1000} + 2x + 5\), tandis que la multiplication du dernier par \(3\) donne \(3x^3+3x^3-3x^2 + 24,\) par exemple.

Montrons que \(P\) est de dimension infinie.

Supposons au contraire que \(P\) soit engendré par \(k\) polynômes \(\mathbf{p}^{(1)},\ldots,\mathbf{p}^{(k)} \in P\). Soit \(m\) le degré maximum de ces \(k\) polynômes. Dans ce cas, \(x^{m+1}\) est un vecteur de \(P\), mais il ne peut être écrit en tant que combinaison linéaire de \(\mathbf{p}^{(1)},\ldots,\mathbf{p}^{(k)}\) car une combinaison linéaires de polynômes de degré inférieurs ou égaux à \(m\) ne saurait donner un polynôme de degré supérieur à \(m\). Donc, \(x^{m+1}\) n’appartient pas à l’espace engendré par \(\{\mathbf{p}^{(1)},\ldots,\mathbf{p}^{(k)}\}\), ce qui est une contradiction.

Un espace vectoriel dont la dimension n’est pas infinie est dît de de dimension finie. Par exemple, l’espace vectoriel des polynômes en \(x\) de degré au plus \(k\) est engendré par l’ensemble fini de vecteurs \(\{1,x,x^2,\ldots, x^k\}\).