10.9 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Construisez une base orthogonale de \(\mathbb{R}^3\) contenant \(\left \{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{bmatrix} \right \}.\)
Soit \(W\) le sous-espace de \(\mathbb{C}^3\) engendré par \(\left\{ \begin{bmatrix} i \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ i\end{bmatrix}\right\}.\) Donnez une base orthonormée de \(W.\)
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 2 & -1\end{bmatrix}.\) Donnez une base orthonormée de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}^\perp.\)
La trace d’une matrice carrée \(\mathbf{C},\) dénotée par \(\operatorname{tr}(\mathbf{C}),\) est la somme des éléments sur sa diagonale. Considérons l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{2 \times 3}\) muni d’un produit scalaire donné par \[\langle {\mathbf{A}},{\mathbf{B}} \rangle = \operatorname{tr}(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}).\] Soit \(W\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^{2\times 3}\) engendré par \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}.\) Donnez une base de \(W^\perp.\)
Considérez l’espace vectoriel \(\mathbb{C}^3\) muni du produit scalaire usuel et \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ i \\ 0\end{bmatrix}.\) Déterminez la projection orthogonale de \(\mathbf{x}\) dans \(\operatorname{Vect}\left ({\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} i \\ 1 \\ -i \end{bmatrix}\right\}} \right).\)
Obtenez une décomposition QR de \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\)
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^n\) une matrice symétrique. Montrez qu’il existe \(\gamma \in \mathbb{R}\) tel que \(\mathbf{A} + \gamma \mathbf{I}_n\) est semi-définie positive.
La fonction quadratique \(4x_1^2 - 4 x_1x_2 + 3x^2 - x_2\) définie sur les nombres réels a-t-elle une valeur minimale? Si c’est le cas, trouvez cette valeur.