10.9 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

  1. Construisez une base orthogonale de R3 contenant {[111],[2−1−1]}.

  2. Soit W le sous-espace de C3 engendré par {[i10],[01i]}. Donnez une base orthonormée de W.

  3. Soit A=[110−12−1]. Donnez une base orthonormée de Col(A)⊥.

  4. La trace d’une matrice carrée C, dénotée par tr(C), est la somme des éléments sur sa diagonale. Considérons l’espace vectoriel R2×3 muni d’un produit scalaire donné par ⟨A,B⟩=tr(BTA). Soit W le sous-espace de R2×3 engendré par [10−1010]. Donnez une base de W⊥.

  5. Considérez l’espace vectoriel C3 muni du produit scalaire usuel et x=[1i0]. Déterminez la projection orthogonale de x dans Vect({[111],[i1−i]}).

  6. Obtenez une décomposition QR de [123−101].

  7. Soit A∈Rn une matrice symétrique. Montrez qu’il existe γ∈R tel que A+γIn est semi-définie positive.

  8. La fonction quadratique 4x21−4x1x2+3x2−x2 définie sur les nombres réels a-t-elle une valeur minimale? Si c’est le cas, trouvez cette valeur.