7.2 Définitions

Soient \(n\) un entier positif, \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n},\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\). Un vecteur non nul \(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(\lambda\) si \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\).

Autrement dit, si \(\mathbf{x}\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\), alors \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) est simplement un multiple scalaire de \(\mathbf{x}\). Notons que par définition, le vecteur nul n’est jamais un vecteur propre.

Exemple 7.1 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\). Soit \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}\). Notons que \[\mathbf{A}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1\cdot 2 + 2\cdot 1 \\ 1\cdot 2 + 0 \cdot 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2\end{bmatrix} = 2\mathbf{x}.\] Par définition, \(\mathbf{x}\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(2\).

Un résultat important, qui sera utile plus tard lorsque nous discutons de diagonalisation d’une matrice, est le suivant :

Proposition 7.1 Soient \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}\) et \(k\) un entier positif. Supposons que \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\) sont des vecteurs propres de \(\mathbf{A}\) associés aux valeurs propres \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) de \(\mathbf{A},\) respectivement. Si \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) sont toutes distinctes, alors \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\) sont linéairement indépendants.

Démonstration. La preuve se fait par induction sur \(k.\)

L’énoncé est évidemment vrai lorsque \(k = 1\) puisque par définition, un vecteur propre ne peut être le vecteur nul.

Supposons que le résultat soit vrai pour un entier positif \(k\). Soit \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k+1)}\) des vecteurs propres de \(\mathbf{A}\) associés à des valeurs propres distinctes \(\lambda_1,\ldots,\lambda_{k+1}\) de \(\mathbf{A},\) respectivement. Supposons, par contradiction, que \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k+1)}\) ne soient pas linéairement indépendants. Sans perte de généralité, on peut supposer que \(\mathbf{v}^{(k+1)}\) s’écrite comme combinaison linéaire de \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)},\) c’est-à-dire qu’il existe scalaires \(\alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{C}\) non tous nuls, tels que \[\mathbf{v}^{(k+1)} = \sum_{i=1}^k\alpha_i \mathbf{v}^{(i)}.\] En multipliant chaque côté à gauche par \(\mathbf{A},\) nous obtenons \[\begin{align*} \mathbf{A}\mathbf{v}^{(k+1)} & = \mathbf{A} \left(\sum_{i=1}^k\alpha_i \mathbf{v}^{(i)}\right) \\ & = \sum_{i=1}^k\alpha_i \mathbf{A} \mathbf{v}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k\alpha_i \lambda_i \mathbf{v}^{(i)} \end{align*}\] Mais \[\begin{align*} \mathbf{A}\mathbf{v}^{(k+1)} & = \lambda_{k+1}\mathbf{v}^{(k+1)} \\ & = \sum_{i=1}^k\lambda_{k+1} \alpha_i \mathbf{v}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k\alpha_i \lambda_{k+1} \mathbf{v}^{(i)}. \end{align*}\] Puisque \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\) sont linéairement indépendants (selon l’hypothèse d’induction), nous avons \(\alpha_i \lambda_i = \alpha_i \lambda_{k+1}\) pour tout \(i = 1,\ldots,k.\) Puisque \(\lambda_1,\ldots,\lambda_{k+1}\) sont toutes distinctes, nous devons avoir \(\alpha_i = 0\) pour tout \(i = 1,\ldots,k,\) ce qui est une contradiction.

7.2.1 Polynôme caractéristique

Comment trouve-t-on les valeurs propres et les vecteurs propres d’une matrice carrée complexe?

Supposons que \(\mathbf{x}\) soit un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Alors, \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}\) peut se réécrire sous la forme \[\mathbf{A}\mathbf{x} - (\lambda \mathbf{I}_n) \mathbf{x} = \mathbf{0}.\] (Rappelons que \(\mathbf{I}_n\) est la matrice identité \(n \times n\).) On simplifie la côté gauche afin d’obtenir \[(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}_n) \mathbf{x} = \mathbf{0}.\] Ainsi, \(\mathbf{x}\) est un vecteur non nul se retrouvant dans le noyau de \(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}_n\).

Pour la matrice \(\mathbf{A}\) de l’exemple 7.1, nous avons \(\mathbf{A} - 2\mathbf{I}_n = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2\end{bmatrix}\), le noyau contenant le vecteur \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix} \neq \mathbf{0}.\)

Pour toute valeur propre \(\lambda\) de \(\mathbf{A}\), la matrice \(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}_n\) est singulière, ce qui implique que son déterminant est nul. L’expression \(\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}_n)\) est un polynôme de degré en \(\lambda,\) que l’on nomme le polynôme caractéristique de \(\mathbf{A}\) et que l’on dénote par \(\chi_{\mathbf{A}}(\lambda)\). (Certaines références définissent plutôt le polynôme caractéristique de \(\mathbf{A}\) par \(\det(\lambda \mathbf{I}_n -\mathbf{A})\). Puisque \(\lambda \mathbf{I}_n -\mathbf{A}\) est singulière si et seulement si \(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}_n\) l’est également, les deux définitions sont équivalentes.)

Le polynôme caractéristique de la matrice \(\mathbf{A}\) à l’exemple 7.1 est \[\begin{align*} \chi_{\mathbf{A}}(\lambda) = \det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}_2) & = \left|\begin{matrix} 1 -\lambda & 2 \\ 1 & -\lambda\end{matrix}\right| \\ & = (1 -\lambda)(-\lambda) - 2\cdot 1 \\ & = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1). \end{align*}\] Notons que \(-1\) est une autre racine de ce polynôme.

On peut aussi y associer un vecteur propre. Nous devons trouver un vecteur \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) tel que \((\mathbf{A} - (-1)\mathbf{I}_2)\mathbf{x} = 0.\) Mais \(\mathbf{A} - (-1)\mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\); par inspection, on voit alors que \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} \neq \mathbf{0}\) est un tel vecteur, d’où \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(-1\).

Il n’y a pas d’autre valeur propre de \(\mathbf{A}\) puisque nous avons trouvé toutes les racines du polynôme. (Un polynôme d’une variable de degré 2 possède au plus deux racines distinctes.)

En général, chaque racine du polynôme caractéristique est une valeur propre. Si \(\lambda\) est tel que \(\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}_n) = 0\), alors \(\mathbf{A}- \lambda \mathbf{I}_n\) est singulière et son noyau possède alors un vecteur non nul. Par définition, un tel vecteur est un vecteur propre associé à \(\lambda.\)

Exercices

1. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\).

   1. Écrivez \(\chi_{\mathbf{A}}(\lambda)\) sous la forme \(a\lambda^2 + b\lambda + c\), où \(a,b,c\in\mathbb{R}\).

   2. Trouvez toutes les valeurs propres de \(\mathbf{A}\).

   3. Pour chaque valeur propre trouvée, trouvez un vecteur propre associé. (Notez qu’il peut y avoir différentes bonnes réponses.)

2. Déterminez toutes les valeurs propres de \(\begin{bmatrix} 7 & 12 & 4 \\ -8 & -13 & -4 \\ 16 & 24 & 7 \end{bmatrix}\).

Solutions

1. 1. \(\lambda^2 -2\lambda + 1\)

   2. \(1\) est la seule valeur propre.

   3. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(1.\)

2. Les valeurs propres sont \(3\) et \(-1.\)