5.5 Méthodes efficaces

En général, on préfère éviter de calculer le déterminant d’une matrice directement à partir de la définition. Dans cette section, nous étudions deux méthodes efficaces permettant le calcul du déterminant.

5.5.1 Calculer le déterminant à l’aide des opérations élémentaires sur les lignes.

Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}$, $\mathbb{K}$ un corps. Rappelons que l’ajout d’un multiple d’une ligne de $\mathbf{A}$ à une autre ligne de $\mathbf{A}$ n’a aucun effet sur la valeur du déterminant et que l’échange de deux lignes modifie la valeur du déterminant par un facteur de $-1$. Si on n’utilise que ces deux types d’opérations afin de transformer $\mathbf{A}$ en une matrice $\mathbf{A}'$ triangulaire supérieure, alors $\det(\mathbf{A}) = (-1)^p \det(\mathbf{A}')$, où $p$ est le nombre d’échanges et $\det(\mathbf{A}')$ est le produit des éléments sur la diagonale de $\mathbf{A}'$.

Exemple 5.8 $$\begin{align*} \begin{vmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 0 & 9 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 + 4L_2) \\ & = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 - 3L_2) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftrightarrow L_2) \\ & = -\left(-\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} \right ) & (L_2 \leftrightarrow L_3) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 \cdot (-2) = -6. \end{align*}$$

5.5.2 Méthode des cofacteurs

Soient $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}$ et $i, j \in \{1,\ldots,n \}$. On définit $\mathbf{A}(i \mid j)$ par la matrice obtenue de $\mathbf{A}$ en enlevant la $i$-ième ligne $i$ et la j-ième colonne de $\mathbf{A}$. La matrice $\mathbf{A}(i\mid j)$ est parfois appelée le $(i,j)$-ième mineur de $\mathbf{A}.$

Exemple 5.9 Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Alors

• $\mathbf{A}(1 \mid 1) = \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{bmatrix},$

• $\mathbf{A}(2 \mid 2) = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 7 & 9 \end{bmatrix},$

• $\mathbf{A}(3 \mid 1) = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{bmatrix}.$

On peut calculer le déterminant d’une matrice $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}$ en utilisant la formule du cofacteur.

Choisissons n’importe quel $i \in \{1,\ldots, n\}$. Alors $$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).$$

On dit souvent que le côté droit est l’expansion du cofacteurs selon la $i$-ième lignee. (Cette formule peut être obtenue directement de la définition originale du déterminant.)

On peut aussi le faire selon la $j$-ième colonne : $$\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).$$

On peut simplifier la notation en utilisant $C_{\mathbf{A}}(i,j)$ pour dénoter $(-1)^{i+j}\det(\mathbf{A}(i \mid j))$. Le terme $C_{\mathbf{A}}(i,j)$ est un cofacteur de $\mathbf{A}$.

Ainsi, l’expansion en cofacteurs selon la $i$-ième ligne peut s’écrire sous la forme $$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j),$$ et l’expansion selon la $j$-ième colonne sous la forme $$\det(\mathbf{A}) = \sum_{i = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j).$$

Exemple 5.10 Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. On calcule $\det(\mathbf{A})$ en effectuant l’expansion en cofacteurs selon la seconde ligne. $$\begin{align*} \det(\mathbf{A}) & = \sum_{j=1}^3 (-1)^{2+j}a_{2,j}\det(\mathbf{A}(2 \mid j)) \\ & = -4\left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9\end{matrix}\right| + 5\left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9\end{matrix}\right| - 6\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8\end{matrix}\right| \\ & = -4(2\cdot 9 - 3\cdot 8) + 5(1 \cdot 9- 3\cdot 7) - 6(1\cdot 8 - 2 \cdot 7) \\ & = 24 - 60 + 36 \\ & = 0 \end{align*}$$ Ainsi, $\mathbf{A}$ n’est pas inversible.

Exemple 5.11 L’expansion en cofacteurs peut s’avérer très utile lorqu’une matrice contient plusieurs éléments nuls. Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a}^\mathsf{T}\\ \mathbf{0}_{n-1} & \mathbf{B} \end{bmatrix}$, où $\mathbf{a}^\mathsf{T}\in \mathbb{K}^{1 \times (n-1)}$, $\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{(n-1)\times (n-1)}$ et $\mathbf{0}_{n-1}$ est le $(n-1)$-uplet nul. Selon la formule d’expension en cofacteurs selon la première colonne, on obtient $\det(\mathbf{A}) = (-1)^{1+1}a_{1,1}\det(\mathbf{A}(1 \mid 1)) = 1 \det(\mathbf{B}) = \det(\mathbf{B}),$ puisque $a_{i,1}=0$ pour tout $i \geq 2$.

Exercices

1. Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$. Déterminez $C_{\mathbf{A}}(2,3).$

2. Calculez le déterminant de $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{bmatrix}$ en utilisant la méthode des cofacteurs sur la deuxième colonne.

Solutions

1. Notons que $$\begin{align*} C_{\mathbf{A}}(2,3) & = (-1)^{2+3} \det(\mathbf{A}(2 \mid 3)) \\ & = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ & = - (8 - 14) = 6. \end{align*}$$

2. Notons que $$\begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{vmatrix} & = (-1)^{1+2} (0) \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{2+2} (4) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{3+2} (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{vmatrix} \\ & = -32 + (-1) = -33. \end{align*}$$