5.5 Méthodes efficaces

En général, on préfère éviter de calculer le déterminant d’une matrice directement à partir de la définition. Dans cette section, nous étudions deux méthodes efficaces permettant le calcul du déterminant.

5.5.1 Calculer le déterminant à l’aide des opérations élémentaires sur les lignes.

Soit AKn×n, K un corps. Rappelons que l’ajout d’un multiple d’une ligne de A à une autre ligne de A n’a aucun effet sur la valeur du déterminant et que l’échange de deux lignes modifie la valeur du déterminant par un facteur de 1. Si on n’utilise que ces deux types d’opérations afin de transformer A en une matrice A triangulaire supérieure, alors det, où p est le nombre d’échanges et \det(\mathbf{A}') est le produit des éléments sur la diagonale de \mathbf{A}'.

Exemple 5.8 \begin{align*} \begin{vmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 0 & 9 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 + 4L_2) \\ & = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 - 3L_2) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftrightarrow L_2) \\ & = -\left(-\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} \right ) & (L_2 \leftrightarrow L_3) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 \cdot (-2) = -6. \end{align*}

5.5.2 Méthode des cofacteurs

Soient \mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n} et i, j \in \{1,\ldots,n \}. On définit \mathbf{A}(i \mid j) par la matrice obtenue de \mathbf{A} en enlevant la i-ième ligne i et la j-ième colonne de \mathbf{A}. La matrice \mathbf{A}(i\mid j) est parfois appelée le (i,j)-ième mineur de \mathbf{A}.

Exemple 5.9 Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. Alors

  • \mathbf{A}(1 \mid 1) = \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{bmatrix},

  • \mathbf{A}(2 \mid 2) = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 7 & 9 \end{bmatrix},

  • \mathbf{A}(3 \mid 1) = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{bmatrix}.

On peut calculer le déterminant d’une matrice \mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n} en utilisant la formule du cofacteur.

Choisissons n’importe quel i \in \{1,\ldots, n\}. Alors \det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).

On dit souvent que le côté droit est l’expansion du cofacteurs selon la i-ième lignee. (Cette formule peut être obtenue directement de la définition originale du déterminant.)

On peut aussi le faire selon la j-ième colonne : \det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).

On peut simplifier la notation en utilisant C_{\mathbf{A}}(i,j) pour dénoter (-1)^{i+j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)). Le terme C_{\mathbf{A}}(i,j) est un cofacteur de \mathbf{A}.

Ainsi, l’expansion en cofacteurs selon la i-ième ligne peut s’écrire sous la forme \det(\mathbf{A}) = \sum_{j = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j), et l’expansion selon la j-ième colonne sous la forme \det(\mathbf{A}) = \sum_{i = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j).

Exemple 5.10 Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. On calcule \det(\mathbf{A}) en effectuant l’expansion en cofacteurs selon la seconde ligne. \begin{align*} \det(\mathbf{A}) & = \sum_{j=1}^3 (-1)^{2+j}a_{2,j}\det(\mathbf{A}(2 \mid j)) \\ & = -4\left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9\end{matrix}\right| + 5\left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9\end{matrix}\right| - 6\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8\end{matrix}\right| \\ & = -4(2\cdot 9 - 3\cdot 8) + 5(1 \cdot 9- 3\cdot 7) - 6(1\cdot 8 - 2 \cdot 7) \\ & = 24 - 60 + 36 \\ & = 0 \end{align*} Ainsi, \mathbf{A} n’est pas inversible.

Exemple 5.11 L’expansion en cofacteurs peut s’avérer très utile lorqu’une matrice contient plusieurs éléments nuls. Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a}^\mathsf{T}\\ \mathbf{0}_{n-1} & \mathbf{B} \end{bmatrix}, où \mathbf{a}^\mathsf{T}\in \mathbb{K}^{1 \times (n-1)}, \mathbf{B} \in \mathbb{K}^{(n-1)\times (n-1)} et \mathbf{0}_{n-1} est le (n-1)-uplet nul. Selon la formule d’expension en cofacteurs selon la première colonne, on obtient \det(\mathbf{A}) = (-1)^{1+1}a_{1,1}\det(\mathbf{A}(1 \mid 1)) = 1 \det(\mathbf{B}) = \det(\mathbf{B}), puisque a_{i,1}=0 pour tout i \geq 2.

Exercices

  1. Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. Déterminez C_{\mathbf{A}}(2,3).

  2. Calculez le déterminant de \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{bmatrix} en utilisant la méthode des cofacteurs sur la deuxième colonne.

Solutions

  1. Notons que \begin{align*} C_{\mathbf{A}}(2,3) & = (-1)^{2+3} \det(\mathbf{A}(2 \mid 3)) \\ & = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ & = - (8 - 14) = 6. \end{align*}

  2. Notons que \begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{vmatrix} & = (-1)^{1+2} (0) \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{2+2} (4) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{3+2} (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{vmatrix} \\ & = -32 + (-1) = -33. \end{align*}