5.5 Méthodes efficaces
En général, on préfère éviter de calculer le déterminant d’une matrice directement à partir de la définition. Dans cette section, nous étudions deux méthodes efficaces permettant le calcul du déterminant.
5.5.1 Calculer le déterminant à l’aide des opérations élémentaires sur les lignes.
Soit A∈Kn×n, K un corps. Rappelons que l’ajout d’un multiple d’une ligne de A à une autre ligne de A n’a aucun effet sur la valeur du déterminant et que l’échange de deux lignes modifie la valeur du déterminant par un facteur de −1. Si on n’utilise que ces deux types d’opérations afin de transformer A en une matrice A′ triangulaire supérieure, alors det, où p est le nombre d’échanges et \det(\mathbf{A}') est le produit des éléments sur la diagonale de \mathbf{A}'.
Exemple 5.8 \begin{align*} \begin{vmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 0 & 9 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 + 4L_2) \\ & = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftarrow L_1 - 3L_2) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftrightarrow L_2) \\ & = -\left(-\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} \right ) & (L_2 \leftrightarrow L_3) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 \cdot (-2) = -6. \end{align*}
5.5.2 Méthode des cofacteurs
Soient \mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n} et i, j \in \{1,\ldots,n \}. On définit \mathbf{A}(i \mid j) par la matrice obtenue de \mathbf{A} en enlevant la i-ième ligne i et la j-ième colonne de \mathbf{A}. La matrice \mathbf{A}(i\mid j) est parfois appelée le (i,j)-ième mineur de \mathbf{A}.
Exemple 5.9 Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. Alors
\mathbf{A}(1 \mid 1) = \begin{bmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{bmatrix},
\mathbf{A}(2 \mid 2) = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 7 & 9 \end{bmatrix},
- \mathbf{A}(3 \mid 1) = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{bmatrix}.
On peut calculer le déterminant d’une matrice \mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n} en utilisant la formule du cofacteur.
Choisissons n’importe quel i \in \{1,\ldots, n\}. Alors \det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).
On dit souvent que le côté droit est l’expansion du cofacteurs selon la i-ième lignee. (Cette formule peut être obtenue directement de la définition originale du déterminant.)
On peut aussi le faire selon la j-ième colonne : \det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{i,j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)).
On peut simplifier la notation en utilisant C_{\mathbf{A}}(i,j) pour dénoter (-1)^{i+j}\det(\mathbf{A}(i \mid j)). Le terme C_{\mathbf{A}}(i,j) est un cofacteur de \mathbf{A}.
Ainsi, l’expansion en cofacteurs selon la i-ième ligne peut s’écrire sous la forme \det(\mathbf{A}) = \sum_{j = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j), et l’expansion selon la j-ième colonne sous la forme \det(\mathbf{A}) = \sum_{i = 1}^n a_{i,j}C_{\mathbf{A}}(i,j).
Exemple 5.10 Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. On calcule \det(\mathbf{A}) en effectuant l’expansion en cofacteurs selon la seconde ligne. \begin{align*} \det(\mathbf{A}) & = \sum_{j=1}^3 (-1)^{2+j}a_{2,j}\det(\mathbf{A}(2 \mid j)) \\ & = -4\left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9\end{matrix}\right| + 5\left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9\end{matrix}\right| - 6\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8\end{matrix}\right| \\ & = -4(2\cdot 9 - 3\cdot 8) + 5(1 \cdot 9- 3\cdot 7) - 6(1\cdot 8 - 2 \cdot 7) \\ & = 24 - 60 + 36 \\ & = 0 \end{align*} Ainsi, \mathbf{A} n’est pas inversible.
Exemple 5.11 L’expansion en cofacteurs peut s’avérer très utile lorqu’une matrice contient plusieurs éléments nuls. Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & \mathbf{a}^\mathsf{T}\\ \mathbf{0}_{n-1} & \mathbf{B} \end{bmatrix}, où \mathbf{a}^\mathsf{T}\in \mathbb{K}^{1 \times (n-1)}, \mathbf{B} \in \mathbb{K}^{(n-1)\times (n-1)} et \mathbf{0}_{n-1} est le (n-1)-uplet nul. Selon la formule d’expension en cofacteurs selon la première colonne, on obtient \det(\mathbf{A}) = (-1)^{1+1}a_{1,1}\det(\mathbf{A}(1 \mid 1)) = 1 \det(\mathbf{B}) = \det(\mathbf{B}), puisque a_{i,1}=0 pour tout i \geq 2.
Exercices
Soit \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}. Déterminez C_{\mathbf{A}}(2,3).
Calculez le déterminant de \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{bmatrix} en utilisant la méthode des cofacteurs sur la deuxième colonne.
Solutions
Notons que \begin{align*} C_{\mathbf{A}}(2,3) & = (-1)^{2+3} \det(\mathbf{A}(2 \mid 3)) \\ & = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ & = - (8 - 14) = 6. \end{align*}
Notons que \begin{align*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 2 & -1 & -4\end{vmatrix} & = (-1)^{1+2} (0) \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{2+2} (4) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & - 4\end{vmatrix} +(-1)^{3+2} (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{vmatrix} \\ & = -32 + (-1) = -33. \end{align*}