8.1 Définition
Soient \(V\) et \(W\) des espaces vectoriels dont les scalaires proviennent d’un même corps \(\mathbb{K}.\) Une fonction \(T:V\rightarrow W\) est une application linéaire si \[\begin{align*} T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) & = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \\ T(\alpha \mathbf{u}) & = \alpha T(\mathbf{u}) \end{align*}\] pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) et tout \(\alpha \in \mathbb{K}.\)
Cette définition a deux conséquences :
\(T(\alpha_1 \mathbf{x}^{(1)} + \cdots + \alpha_m \mathbf{x}^{(m)}) = \alpha_1 T(\mathbf{x}^{(1)}) + \cdots + \alpha_m (T\mathbf{x}^{(m)})\) pour tous \(\mathbf{x}^{(1)},\ldots, \mathbf{x}^{(m)} \in V\) et scalaires \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m \in \mathbb{K}.\)
\(T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W\), où \(\mathbf{0}_V\) dénote le vecteur nul de \(V\) et \(\mathbf{0}_W\) dénote le vecteur nul de \(W.\)
Exemple 8.1 Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}.\) Alors, l’application \(T:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m\) définie par \(T(\mathbf{u}) = \mathbf{A}\mathbf{u}\) est linéaire. Pour démontrer ceci, nous devons vérifier les deux conditions. Soient \(\mathbf{u},\mathbf{v} \in \mathbb{K}^n\) et \(\alpha \in \mathbb{K}.\) Alors, \[T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{u} + \mathbf{A}\mathbf{v} = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\] et \[T(\alpha \mathbf{u}) = \mathbf{A}(\alpha \mathbf{u}) = \alpha (\mathbf{A}\mathbf{u}) = \alpha T(\mathbf{u}).\]
Exemple 8.2 Rappelons que \(P_2(\mathbb{R})\) dénote l’espace vectoriel des polynômes en \(x\) à coefficients réels et de dégré au plus \(2.\) Soit \(T:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^2\) donné par \[T(ax^2 + bx + c) = \begin{bmatrix} a+3c \\ a\end{bmatrix}.\] Alors, \(T\) est une application linéaire. Pour démontrer ce résultat, prenons deux vecteurs \(a_1x^2+b_1x+c_1\) et \(a_2x^2+b_2x+c_2\) de \(P_2(\mathbb{R})\) et un nombre réel \(\gamma.\) Alors, \[\begin{align*} \,& T( (a_1x^2+b_1x+c_1) + (a_2x^2+b_2+c_2) ) \\ =\,& T( (a_1+a_2)x^2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2) ) \\ =\,& \begin{bmatrix} (a_1+a_2)+3(c_1+c_2) \\ a_1+a_2 \end{bmatrix} \\ =\,& \begin{bmatrix} (a_1+3c_1)+(a_2+3c_2) \\ a_1+a_2 \end{bmatrix} \\ =\,& \begin{bmatrix} a_1+3c_1 \\ a_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_2+3c_2 \\ a_2 \end{bmatrix} \\ =\,& T(a_1 x^2 + b_1 x + c_1) + T(a_2 x^2 + b_2 x + c_2), \end{align*}\] et \[\begin{align*} \,& T( \gamma(a_1x^2+b_1x+c_1) ) \\ =\,& T( (\gamma a_1)x^2+(\gamma b_1)x+\gamma c_1 ) \\ =\,& \begin{bmatrix} \gamma a_1+3(\gamma c_1)\\ \gamma a_1 \end{bmatrix} \\ =\,& \gamma\begin{bmatrix} a_1+3(c_1) \\ a_1 \end{bmatrix} \\ =\,& \gamma T(a_1x^2+b_1x+c_1). \end{align*}\]
On peut établir un raccourci afin de vérifier si \(T:V\rightarrow W\) est une application linéaire :
Proposition 8.1 \(T:V\rightarrow W\) est une application linéaire si et seulement si \[\begin{equation*} T(\alpha \mathbf{u}+\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \end{equation*}\] pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) et \(\alpha \in \mathbb{K}.\)
Démonstration. Si \(T\) est une application linéaire, alors selon les propriétés d’une application linéaire, \[T(\alpha \mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\alpha \mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).\]
Réciproquement, supposons que \[\begin{equation*} T(\alpha \mathbf{u}+\mathbf{v}) = \alpha T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \end{equation*}\] pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) et \(\alpha \in \mathbb{K}.\) Avec \(\alpha = 1\), nous obtenons \(T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).\)
De plus, \[T(\mathbf{0}_V) = T(\mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V) = T(\mathbf{0}_V) + T(\mathbf{0}_V),\] ce qui implique que \(T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W.\) Ainsi, \[\begin{align*} T(\alpha \mathbf{u}) & = T(\alpha \mathbf{u}+\mathbf{0}_V) \\ & = \alpha T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{0}_V) \\ & = \alpha T(\mathbf{u}) + \mathbf{0}_W \\ & = \alpha T(\mathbf{u}). \end{align*}\]
Exercices
Soit \(T:\mathbb{R}^5\rightarrow \mathbb{R}\) tel que \(T(\mathbf{x}) = 0\) pour tout \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^5.\) \(T\) est-elle une application linéaire? Expliquez votre raisonnement.
Soit \(T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) une application linéaire telle que \(T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}\) et \(T\left(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}.\) Que vaut \(T\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 5\end{bmatrix}\right)\)?
Solutions
\(T\) est linéaire puisque \(T\) satisfait à \(T(\alpha \mathbf{u} + \mathbf{v}) = 0 = \alpha 0 + 0 = \alpha T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})\) pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^5\) et \(\alpha \in \mathbb{R}.\)
Notons que \[\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 5\end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}.\] Ainsi, \[\begin{align*} T\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 5\end{bmatrix}\right) & = 3T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\end{bmatrix}\right) + (-1)T\left(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\right) \\ & = 3\begin{bmatrix} 1 \\ -4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ -2\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 3 \\ -14\end{bmatrix}. \end{align*}\]