2.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Soit $z = 2-3i$. Déterminez $\overline{z}$, $\left\lvert{z}\right\rvert$ et $z^{-1}$.

2. Soient $z = 1-2i$ et $w = 1-i$. Simplifiez l’expression $z + 4w^{-2}$ le plus possible.

3. Convertissez chacun des nombres complexes suivants sous forme polaire. (Donnez le module et l’argument arrondis à cinq décimales après la virgule.)

   1. $2-7i$

   2. $-5-3i$

4. Convertissez $3 \operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5} }\right)$ sous forme rectangulaire où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

5. Déterminez les racines quatrièmes de $4+3i$ sous forme rectangulaire où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

6. Une des racines cubiques de $8-5i$, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à 5 décimales après la virgule est $-0{,}69947 + bi$. Quelle valeur prend $b$?

7. Est-ce que l’équation $(z-i)^2 + 1 = 0$ a une solution réelle?

8. Soient $u = i$ et $w = -2-i$. Déterminez tous les nombres réels $a$ tels que $|a+u| = |w|$.

9. Déterminez tous les nombres complexes $z$ satisfaisant à $iz^2 - 2z +1 = 0.$

Solutions

1. Pour l’inverse de $z$, on obtient $\displaystyle z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\overline{z}}{\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{2+3i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i.$

2. Notons que $$\begin{align*} z + 4 w^{-2} & = z + \frac{4}{w^2} \\ & = 1-2i + \frac{4}{(1-i)^2} \\ & = 1-2i + \frac{4}{-2i} \\ & = 1-2i + \frac{2}{-i} \\ & = 1-2i + \frac{2}{-i}\cdot\frac{i}{i} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{-i^2} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{-(-1)} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{1} \\ & = 1-2i + 2i \\ & = 1 \\ \end{align*}$$

3. 1. Le module est $r = \sqrt{ 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{ 53 }$. L’argument $\theta$ est donné par $2\pi - \alpha = 2\pi - \arctan\left(\frac{7}{2}\right)$ radians. Donc, $2 -7i = r\,\operatorname{cis}\left({ \theta }\right)$, où $r \approx 7{,}28011$ et $\theta \approx 4{,}99069$.

   2. Le module est $r = \sqrt{ (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{ 37 }$. L’arument $\theta$ est donné par $\pi - \arctan\left(\frac{1}{6}\right)$ radians.

      Donc, $-6 + i = r\,\operatorname{cis}\left({ \theta }\right)$, où $r \approx 6{,}08276$ et $\theta \approx 2{,}97644$.

4. Rappelons que $3 \,\operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5}}\right)$ est une façon abrégé d’écrire $3 \left(\cos \frac{3}{5} + i \sin \frac{3}{5}\right)$. Donc, la partie réelle est $3 \cos \frac{3}{5} \approx 2{,}476006844729$ et la partie imaginaire est $3 \sin \frac{3}{5} \approx 1{,}693927420185$.

   Donc, la forme rectangulaire de $3 \,\operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5}}\right)$ est $2{,}4760 + 1{,}6939 i$, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

5. Rappelons que les racines quatrièmes d’un nombre complexe en forme polaire $r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right)$ sont données par $r^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{2j \pi}{4}+ \frac{\theta}{4}}\right)$ pour $j = 0, 1, 2, 3$. Convertissons d’abord $4+3i$ sous forme polaire.

   Le module $r$ est donné par $\sqrt{ 4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

   Pour l’argument, on obtient $\theta = \arctan \frac{3}{4}$.

   Donc, les quatres racines quatrièmes sont $5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)$, $5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)$, $5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)$, $5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{6\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)$.

   En simplifiant à l’aide d’une calculatrice, nous obtenons les quatres racines quatrièmes suivantes, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule : $1{,}4760 + 0{,}2395i$, $-0{,}2395+1{,}4760i$, $-1{,}4760-0{,}2395i$, $0{,}2395-1{,}4760i$.

6. Soit $z = 8-5i$. Notons que $z$ a trois racines cubiques mais la question s’intéresse seulement à une racine particulière ayant la partie réelle donnée (arrondies à cinq décimales). Une stratégie est de commencer par trouver toutes les racines cubiques de $z$ et de consulter la liste afin de trouver celle qui nous est donnée.

   Convertissons d’abord $z$ sous forme polaire. Le module $r$ est donné par $\sqrt{ 8^2 + (-5)^2} = \sqrt{ 64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9{,}433981132$. (Nous utilisons quelques décimales de plus pour avoir une précision de 5 décimales pour notre réponse finale.)

   Pour l’argument, on obtient $\theta = 2\pi - \arctan \frac{5}{8}= 5{,}72458599$.

   Les racines cubiques de $z$ sont alors approchées par $9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{5{,}72458599}{3} }\right)$, $9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{3}+\frac{5{,}72458599}{3}}\right)$, et $9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{3}+\frac{5{,}72458599}{3}}\right)$.

   La conversion de la première racine sous forme rectangulaire donne $-0{,}69947 + 1{,}99386i$. Puisque la partie réelle de cette racine cubique correspond à celle donnée dans la question, nous n’avons pas besoin de convertir les autres racines sous forme rectangulaire, et $b = 1{,}99386$.

7. La réponse est « oui ». Pour le voir, on réécrit l’équation $(z-i)^2 = -1$. Puisque $-1$ a deux racines carrées, $i$ et $-i$, on doit avoir $z - i= i$ ou $z -i = -i,$ ce qui implique que $z = 2i$ ou $z = 0,$ cette dernière étant une solution réelle.

8. Rappelons que pour un nombre complexe $z = x+yi$, où $x,y$ sont des nombres réels, $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Alors, $|w| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ et $|a+u| = |a+i| = \sqrt{a^2 + 1^2},$ puisque $a$ est un nombre réel. Ainsi, nous devons trouver $a$ satisfaisant à $\sqrt{a^2+1} = \sqrt{5}$. En mettant les deux côtés au carré, on obtient $a^2+1 = 5$. Donc, $a = \pm 2$.

9. Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode de complétion du carré. La clef est la transformation de l’équation $z^2 + pz + q=0$ sous la forme $(z+r)^2 = s$ Les solutions sont $s_1 - r$ et $s_2 - r$, où $s_1$ et $s_2$ sont les racines carrées de $s$. La transformation recherchée s’obtient comme suit : $$\begin{align*} & z^2 + pz + q =0 \\ \Leftrightarrow ~& z^2 + pz = -q\\ \Leftrightarrow ~& z^2 + pz + (p/2)^2 = - q + (p/2)^2\\ \Leftrightarrow ~& (z + p/2)^2 = (p/2)^2 - q \end{align*}$$

   D’abord, on multiplie chaque côté par $i^{-1}$ (qui est $-i$) pour obtenir $$z^2 + 2iz - i= 0.$$

   L’équation peut être ensuite réécrite comme $$z^2 + 2iz = i.$$

   Le coefficient de $z$ est $2i$. On ajoute alors $(2i/2)^2$ (qui est $i^2$) de chaque côté pour obtenir $$z^2 + 2iz + i^2 = i+i^2.$$

   Ainsi, l’équation peut être réécrite sous la forme $$(z+i)^2 = -1+i.$$

   Ainsi, $z+i$ doit être égale à une des racines carrés de $-1+i$.

   En forme polaire, $-1+i = \sqrt{2} \operatorname{cis} \frac{3\pi}{4}$. Les racines carrés de $-1+i$ sont donc $2^{\frac{1}{4}} \operatorname{cis} \frac{3\pi}{8}$ et $2^{\frac{1}{4}} \operatorname{cis} \frac{11\pi}{8}$, qui sont approchées par $0{,}4551 + 1{,}0987i$ et $-0{,}4551 - 1{,}0987i$, respectivement. Les solutions, où les parties réelles et imagines ont une précision de quatre décimales, sont $0{,}4551 +0{,}0987i$ et $-0{,}4551 - 2{,}0987i$.