2.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

  1. Soit \(z = 2-3i\). Déterminez \(\overline{z}\), \(\left\lvert{z}\right\rvert\) et \(z^{-1}\).

  2. Soient \(z = 1-2i\) et \(w = 1-i\). Simplifiez l’expression \(z + 4w^{-2}\) le plus possible.

  3. Convertissez chacun des nombres complexes suivants sous forme polaire. (Donnez le module et l’argument arrondis à cinq décimales après la virgule.)

    1. \(2-7i\)

    2. \(-5-3i\)

  4. Convertissez \(3 \operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5} }\right)\) sous forme rectangulaire où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

  5. Déterminez les racines quatrièmes de \(4+3i\) sous forme rectangulaire où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

  6. Une des racines cubiques de \(8-5i\), où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à 5 décimales après la virgule est \(-0{,}69947 + bi\). Quelle valeur prend \(b\)?

  7. Est-ce que l’équation \((z-i)^2 + 1 = 0\) a une solution réelle?

  8. Soient \(u = i\) et \(w = -2-i\). Déterminez tous les nombres réels \(a\) tels que \(|a+u| = |w|\).

  9. Déterminez tous les nombres complexes \(z\) satisfaisant à \(iz^2 - 2z +1 = 0.\)

Solutions

  1. Pour l’inverse de \(z\), on obtient \(\displaystyle z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\overline{z}}{\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{2+3i}{13} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i.\)

  2. Notons que \[\begin{align*} z + 4 w^{-2} & = z + \frac{4}{w^2} \\ & = 1-2i + \frac{4}{(1-i)^2} \\ & = 1-2i + \frac{4}{-2i} \\ & = 1-2i + \frac{2}{-i} \\ & = 1-2i + \frac{2}{-i}\cdot\frac{i}{i} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{-i^2} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{-(-1)} \\ & = 1-2i + \frac{2i}{1} \\ & = 1-2i + 2i \\ & = 1 \\ \end{align*}\]

    1. Le module est \(r = \sqrt{ 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{ 53 }\). L’argument \(\theta\) est donné par \(2\pi - \alpha = 2\pi - \arctan\left(\frac{7}{2}\right)\) radians. Donc, \(2 -7i = r\,\operatorname{cis}\left({ \theta }\right)\), où \(r \approx 7{,}28011\) et \(\theta \approx 4{,}99069\).

    2. Le module est \(r = \sqrt{ (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{ 37 }\). L’arument \(\theta\) est donné par \(\pi - \arctan\left(\frac{1}{6}\right)\) radians.

      Donc, \(-6 + i = r\,\operatorname{cis}\left({ \theta }\right)\), où \(r \approx 6{,}08276\) et \(\theta \approx 2{,}97644\).

  4. Rappelons que \(3 \,\operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5}}\right)\) est une façon abrégé d’écrire \(3 \left(\cos \frac{3}{5} + i \sin \frac{3}{5}\right)\). Donc, la partie réelle est \(3 \cos \frac{3}{5} \approx 2{,}476006844729\) et la partie imaginaire est \(3 \sin \frac{3}{5} \approx 1{,}693927420185\).

    Donc, la forme rectangulaire de \(3 \,\operatorname{cis}\left({ \frac{3}{5}}\right)\) est \(2{,}4760 + 1{,}6939 i\), où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

  5. Rappelons que les racines quatrièmes d’un nombre complexe en forme polaire \(r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\) sont données par \(r^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{2j \pi}{4}+ \frac{\theta}{4}}\right)\) pour \(j = 0, 1, 2, 3\). Convertissons d’abord \(4+3i\) sous forme polaire.

    Le module \(r\) est donné par \(\sqrt{ 4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\).

    Pour l’argument, on obtient \(\theta = \arctan \frac{3}{4}\).

    Donc, les quatres racines quatrièmes sont \(5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)\), \(5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)\), \(5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)\), \(5^{\frac{1}{4}}\operatorname{cis}\left({\frac{6\pi}{4}+\frac{\arctan\frac{3}{4}}{4}}\right)\).

    En simplifiant à l’aide d’une calculatrice, nous obtenons les quatres racines quatrièmes suivantes, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule : \(1{,}4760 + 0{,}2395i\), \(-0{,}2395+1{,}4760i\), \(-1{,}4760-0{,}2395i\), \(0{,}2395-1{,}4760i\).

  6. Soit \(z = 8-5i\). Notons que \(z\) a trois racines cubiques mais la question s’intéresse seulement à une racine particulière ayant la partie réelle donnée (arrondies à cinq décimales). Une stratégie est de commencer par trouver toutes les racines cubiques de \(z\) et de consulter la liste afin de trouver celle qui nous est donnée.

    Convertissons d’abord \(z\) sous forme polaire. Le module \(r\) est donné par \(\sqrt{ 8^2 + (-5)^2} = \sqrt{ 64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9{,}433981132\). (Nous utilisons quelques décimales de plus pour avoir une précision de 5 décimales pour notre réponse finale.)

    Pour l’argument, on obtient \(\theta = 2\pi - \arctan \frac{5}{8}= 5{,}72458599\).

    Les racines cubiques de \(z\) sont alors approchées par \(9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{5{,}72458599}{3} }\right)\), \(9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{3}+\frac{5{,}72458599}{3}}\right)\), et \(9{,}433981132^{\frac{1}{3}} \operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{3}+\frac{5{,}72458599}{3}}\right)\).

    La conversion de la première racine sous forme rectangulaire donne \(-0{,}69947 + 1{,}99386i\). Puisque la partie réelle de cette racine cubique correspond à celle donnée dans la question, nous n’avons pas besoin de convertir les autres racines sous forme rectangulaire, et \(b = 1{,}99386\).

  7. La réponse est « oui ». Pour le voir, on réécrit l’équation \((z-i)^2 = -1\). Puisque \(-1\) a deux racines carrées, \(i\) et \(-i\), on doit avoir \(z - i= i\) ou \(z -i = -i,\) ce qui implique que \(z = 2i\) ou \(z = 0,\) cette dernière étant une solution réelle.

  8. Rappelons que pour un nombre complexe \(z = x+yi\), où \(x,y\) sont des nombres réels, \(|z| = \sqrt{x^2+y^2}\). Alors, \(|w| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2} = \sqrt{5}\) et \(|a+u| = |a+i| = \sqrt{a^2 + 1^2},\) puisque \(a\) est un nombre réel. Ainsi, nous devons trouver \(a\) satisfaisant à \(\sqrt{a^2+1} = \sqrt{5}\). En mettant les deux côtés au carré, on obtient \(a^2+1 = 5\). Donc, \(a = \pm 2\).

  9. Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode de complétion du carré. La clef est la transformation de l’équation \(z^2 + pz + q=0\) sous la forme \((z+r)^2 = s\) Les solutions sont \(s_1 - r\) et \(s_2 - r\), où \(s_1\) et \(s_2\) sont les racines carrées de \(s\). La transformation recherchée s’obtient comme suit : \[\begin{align*} & z^2 + pz + q =0 \\ \Leftrightarrow ~& z^2 + pz = -q\\ \Leftrightarrow ~& z^2 + pz + (p/2)^2 = - q + (p/2)^2\\ \Leftrightarrow ~& (z + p/2)^2 = (p/2)^2 - q \end{align*}\]

    D’abord, on multiplie chaque côté par \(i^{-1}\) (qui est \(-i\)) pour obtenir \[z^2 + 2iz - i= 0.\]

    L’équation peut être ensuite réécrite comme \[z^2 + 2iz = i.\]

    Le coefficient de \(z\) est \(2i\). On ajoute alors \((2i/2)^2\) (qui est \(i^2\)) de chaque côté pour obtenir \[z^2 + 2iz + i^2 = i+i^2.\]

    Ainsi, l’équation peut être réécrite sous la forme \[(z+i)^2 = -1+i.\]

    Ainsi, \(z+i\) doit être égale à une des racines carrés de \(-1+i\).

    En forme polaire, \(-1+i = \sqrt{2} \operatorname{cis} \frac{3\pi}{4}\). Les racines carrés de \(-1+i\) sont donc \(2^{\frac{1}{4}} \operatorname{cis} \frac{3\pi}{8}\) et \(2^{\frac{1}{4}} \operatorname{cis} \frac{11\pi}{8}\), qui sont approchées par \(0{,}4551 + 1{,}0987i\) et \(-0{,}4551 - 1{,}0987i\), respectivement. Les solutions, où les parties réelles et imagines ont une précision de quatre décimales, sont \(0{,}4551 +0{,}0987i\) et \(-0{,}4551 - 2{,}0987i\).