1.3 Corps
Cette section est consacrée aux corps. Nous n’allons pas traiter du sujet en profondeur puisque son étude pouvant facilement demander un ouvrage complet. Pour nos besoins, nous allons seulement nous familiariser avec la terminologie ainsi qu’à quelques exemples de corps.
1.3.1 Opposés et inverses
Avant de discuter des propriétés d’un corps, il est très instructif de considérer les ensembles des nombres en ignorant la soustraction et la division. Autrement dit, nous restreignons notre attention à l’addition et à la multiplication. Pour combler la perte de ces opérateurs, nous utilisons les notions d’opposé et d’inverse. La connaissance de ces notions est cruciale à la compréhension du fait que les éléments des corps n’ont pas à être des nombres.
Pour un élément \(a\) d’un corps, son opposé est un élément \(b\) appartenant à ce même corps et tel que \(a + b = b + a = 0\). Il s’avère qu’un unique opposé existe pour chaque élément. Par exemple, dans le corps \(\mathbb{Q}\) des nombres rationnels, l’opposé de \(\frac{2}{5}\) est \(-\frac{2}{5}\) et l’opposé de \(-5\) est \(5\). On dénote l’opposé de \(a\) par \(-a.\)
Pour un élément \(a \neq 0\) d’un corps, son inverse est un élément \(b\) tel que \(a \cdot b = b \cdot a = 1\). Il s’avère qu’un unique inverse existe pour chaque élément. Dans \(\mathbb{Q}\), par exemple, l’inverse de \(\frac{2}{5}\) est \(\frac{5}{2}\) et l’inverse de \(-1\) est \(-1\). On dénote l’inverse de \(a\) par \(a^{-1}.\)
Or, on voit pourquoi il n’est pas nécessaire de parler de soustraction et de division. On peut tout simplement réécrire \(a - b\) pour \(a\) plus l’opposé de \(b\) (normalement dénoté par \(a+(-b)\)), et \(a/b\) pour \(a\) multiplié par l’inverse de \(b\) (normalement dénoté par \(a \cdot b^{-1}\)).
Exemple 1.7 Montrons que l’inverse de \(3-\sqrt{7}\) peut s’écrire sous la forme \(a + b\sqrt{7}\), où \(a,b \in \mathbb{Q}\).
La condition que l’inverse s’écrive sous la forme \(a + b\sqrt{7}\), où \(a,b \in \mathbb{Q}\) rend la tâche plus difficile : \(3-\sqrt{7}\) étant un nombre réel, son inverse est simplement \(\frac{1}{3-\sqrt{7}}\). Cependant, \(\frac{1}{3-\sqrt{7}}\) n’est pas de la forme demandée.
Heureusement, nous pouvons employer la rationalisation du dénominateur comme suit : \[\begin{align*} \frac{1}{3-\sqrt{7}} & = \frac{1}{3-\sqrt{7}} \cdot \frac{3+\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{3^2-\sqrt{7}^2} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} \\ & = \frac{3+\sqrt{7}}{2} \\ & = \frac{3}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{7}. \end{align*}\] Notons que \(\frac{3}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{7}\) est de la forme désirée.
Remarque. En utilisant la même technique, il est possible de démontrer plus généralement que pour tous \(x,y \in \mathbb{Q}\) et nombre premier \(p\), si \(x + y\sqrt{p} \neq 0\), alors son inverse peut s’écrire comme \(a + b \sqrt{p}\) pour un choix judicieux de \(a,b \in \mathbb{Q}\).
1.3.2 Axiomes d’un corps
Sous l’addition et la multiplication, l’ensemble des nombres rationnels et l’ensemble des nombres réels partagent plusieurs propriétés communes. Ce qui est peut-être surprenant est que beaucoup de ces propriétés sont aussi partagés par des ensembles muni d’une multiplication et d’une addition bien très différentes de celles des nombres réels. Au fil des ans, les propriétés essentielles ont été identifiées, menant à la définition abstraite d’un corps. Puisqu’il existe de nombreux exemples de corps, l’étude des corps et de leurs propriétés permettent de déduire ce qui reste vrai dans tous les cas sans à avoir à les étudier séparément.
Plus formellement, un corps \(\mathbb{K}\) est un ensemble muni de deux opérations binaires \(+\) et \(\cdot\) (que l’on nomme addition et multiplication, respectivement) et qui est fermé sous l’action de ces opérations (si \(a,b\in \mathbb{K},\) alors \(a+b, a\cdot b \in \mathbb{K}\)) tout en satisfaisant les axiomes d’un corps :
Pour tous \(a, b, c \in \mathbb{K}\), \(a + (b+c) = (a+b)+ c\) et \(a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c\).
(Associativité de l’addition et de la multiplication.)Pour tous \(a, b \in \mathbb{K}\), \(a + b = b + a\) et \(a\cdot b = b\cdot a\).
(Commutativité de l’addition et de la multiplication.)Pour tous \(a, b, c \in \mathbb{K}\), \(a \cdot (b+c) = a \cdot b+ a\cdot c\).
(Distributivité à la gauche.)Il existe un élément de \(\mathbb{K}\), dénoté par 0, tel que pour tous \(a \in \mathbb{K}, a + 0 = a\).
(Existence d’un élément neutre pour l’addition.)Il existe un élément de \(\mathbb{K}\), non égal à 0 et dénoté par 1, tel que pour tout \(a \in \mathbb{K}, a \cdot 1 = a\).
(Existence d’un élément neutre pour la multiplication.)Pour chaque \(a \in \mathbb{K},\) il existe un élément \(b \in \mathbb{K},\) tel que \(a+b = 0\).
(Existence d’un opposé, souvent dénoté par \(-a\).)Pour chaque \(a \in \mathbb{K}\), non égal à 0, il existe un élément \(b \in \mathbb{K}\), tel que \(a\cdot b = 1\).
(Existence d’un inverse, souvent dénoté par \(a^{-1}\).)
Par commodité, on écrit souvent \(ab\) au lieu de \(a\cdot b\).
On peut dériver de ces propriétés qu’un corps doit aussi satisfaire aussi à la distributivité à droite : \[(a+b)\cdot c = a\cdot c + a \cdot c\] pour tous \(a,b,c\in \mathbb{K}.\) On peut aussi montrer que les éléments neutres pour addition et la multiplication sont uniques.
Notons que \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) satisfont aux propriétés et sont donc des corps. Nous verrons plus tard que les nombres complexes forment aussi un corps. Dans la section suivante, nous considérons des corps ayant un nombre fini d’éléments.
Remarque. Si la propriété 7 est omise, on a la définition d’un anneau. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) muni de l’addition et de la multiplication satisfait aux propriétés 1 à 6 mais pas à la propriété 7. Ainsi, \(\mathbb{Z}\) n’est pas un corps mais il est un anneau.
1.3.3 Puissance d’éléments d’un corps
Soit \(a \in \mathbb{K}\), où \(\mathbb{K}\) dénote un corps. Par convention, nous définissons \(a^0 = 1,\) l’élément neutre pour la multiplication de \(\mathbb{K}\). Pour chaque entier positif \(n\), \(a^n = a\cdot a^{n-1}\) et, si \(a \neq 0\), \(a^{-n}\) est l’inverse de \(a^n\).
Exercices
Pour chacun des éléments suivants, déterminez ses opposés et inverses.
\(\frac{3}{2}\)
\(-5\)
\(-\sqrt{2}\)
Donnez l’inverse de \(-2+\sqrt{5}\) sous la forme \(a + b\sqrt{5}\), où \(a,b \in \mathbb{Q}\).
Soient \(a,b \in \mathbb{K}\), où \(\mathbb{K}\) dénote un corps. Soit \(n\) un entier positif. Démontrez que \((ab)^n = a^n b^n.\)
Soit \(a \in \mathbb{K}\), où \(\mathbb{K}\) dénote un corps. Soit \(n\) un entier positif. Démontrez que \(a^{-n} = (a^{-1})^n.\)
Solutions
L’opposé est \(-\frac{3}{2}\). L’inverse est \(\frac{2}{3}\).
L’opposé est \(5\). L’inverse est \(-\frac{1}{5}\).
L’opposé est \(-\sqrt{2}\). L’inverse est \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) ou \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(2+\sqrt{5}\)
Démontrons l’énoncé par induction sur \(n.\) L’énoncé est évidemment vrai si \(n = 1.\) Supposons maintenant que \((ab)^k = a^kb^k\) pour un entier positif \(k.\) Alors \[\begin{align*} (ab)^{k+1} & = (ab) (ab)^k \\ & = (ab) (a^kb^k) \end{align*}\] d’après l’hypothèse d’induction. Puisque \[\begin{align*} (ab) (a^kb^k) & = a((b a^k) b^k) \\ & = a( (a^k b) b^k) \\ & = a( a^k (b b^k)) \\ & = a( a^k b^{k+1}) \\ & = (a a^k) b^{k+1} \\ & = a^{k+1} b^{k+1}, \end{align*}\] il vient \((ab)^{k+1} = a^{k+1} b^{k+1}.\)
Ainsi, d’après le principe d’induction, l’égalité \((ab)^n = a^nb^n\) est valide pour tous les entiers positifs \(n.\)
Puisque \(a \neq 0\), nous savons que \(a^{-1}\) existe et que \(a^{-1} a=1\). Soit \(b = \left(a^{-1}\right)^n\). Alors \(ba^n = \left(a^{-1}\right)^n a^n = \left(a^{-1}a\right)^n = 1^n = 1\). Par définition, \(b\) est alors l’inverse de \(a\).