12.1 Résolution de système inconsistant

Soit \(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}\) et \(\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m\). Il se peut qu’il n’y ait aucun \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) satisfaisant à \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\). Dans un tel cas, on dit que le système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) est inconsistant. Un système qui n’est pas inconsistant est appelé un système consistant.

Exemple 12.1 Le système suivant est inconsistant : \[\begin{align*} x_1 + x_2 & = 1 \\ -x_1 + x_2 & = 2 \\ x_2 & = 0. \\ \end{align*}\] Pour vérifier ce résultat, on note que l’addition des deux premières équations donne \(2x_2 = 3\) tandis que la troisième équation requiert \(x_2 = 0\). Ces deux énoncés sont incompatibles.

Il est naturel de s’attendre à ce que l’étude des systèmes inconsistants ne soit pas très intéressante. Mais il demeure tout de même important de trouver des solutions approximatives dans plusieurs applications. Par exemple, les éléments du vecteur \(\mathbf{b}\) peuvent provenir de certaines mesures prisent avec des instruments imprécis.

Une façon d’approcher la problème est d’obtenir un \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) de sorte que \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) soit le plus près possible du vecteur \(\mathbf{b}\). Lorsque le système est consistant, cette approche donne une solution exacte de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\).

Dans ce chapitre, nous mettons l’accent sur la résolution du problème qui consiste à trouver \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) tel que la distance entre \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) et \(\mathbf{b}\) est minimisée. Avant d’entreprendre les éléments principaux de notre discussion, nous allons établir une notation pour la distance entre deux éléments de \(\mathbb{R}^n\).

Une notion immédiatement disponible est celle de la longueur d’un vecteur : \(\| \mathbf{u} \| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\) pour tout \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n\). On définit la distance entre \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\) par \(\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \|\).

Exemple 12.2 Soient \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2\\ 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0\\ -2\end{bmatrix}\). Alors \[\| \mathbf{u}-\mathbf{v} \| =\left\| \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right \| = \sqrt{ 2^2 + 3^2 } = 5.\]

La longueur d’un vecteur définie à l’aide du produit scalaire est loin d’être la seule mesure de la distance entre deux vecteurs. En fait, chaque produit scalaire définit dans \(\mathbb{R}^n\) induit une fonction distance qui pourrait être utilisée. Dans la pratique, le choix fait ci-dessus est suffisant et possède des propriétés très séduisantes pouvant être exprimées de façon symbolique.

Tout \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) minimisant la quantité \(\| \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b} \|\) est une solution des moindres carrés du système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\).

Exercices

1. Déterminez la distance entre \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} -1 \\ 5\end{bmatrix}.\)

2. Sans utiliser le calcul, déterminez un nombre réel \(x\) minimisant \[(2x-1)^2 + (x-2)^2.\]

Solutions

2. Notons que \[\begin{align*} (2x-1)^2 + (x-2)^2 & = 4x^2 - 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 \\ & = 5x^2 - 8x + 5 \\ & = 5\left(x^2 - \frac{8}{5}x\right) + 5 \\ & = 5\left(x - \frac{4}{5}\right)^2 -\frac{16}{5} + 5 \end{align*}\] qui est minimisé lorsque \(x = \frac{4}{5}.\)