13.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Obtenez une décomposition en valeurs singulières de \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\)
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) de rang \(r.\) Démontrez qu’il existe \(\mathbf{u}^{(1)},\ldots,\mathbf{u}^{(r)} \in \mathbb{R}^m\) et \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(r)} \in \mathbb{R}^n\) tels que \[\mathbf{A} = \sum_{i = 1}^r \mathbf{u}^{(i)} {\mathbf{v}^{(i)}}^\mathsf{T}.\]
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) une matrice symétrique. Soit \(\mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^\mathsf{T}\) une décomposition en valeurs singulières de \(\mathbf{A}.\) Montrez que si \(\mathbf{A}\) est définie positive, alors \(\mathbf{U} = \mathbf{V}.\)