13.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Obtenez une décomposition en valeurs singulières de $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$

2. Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ de rang $r.$ Démontrez qu’il existe $\mathbf{u}^{(1)},\ldots,\mathbf{u}^{(r)} \in \mathbb{R}^m$ et $\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(r)} \in \mathbb{R}^n$ tels que $$\mathbf{A} = \sum_{i = 1}^r \mathbf{u}^{(i)} {\mathbf{v}^{(i)}}^\mathsf{T}.$$

3. Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ une matrice symétrique. Soit $\mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^\mathsf{T}$ une décomposition en valeurs singulières de $\mathbf{A}.$ Montrez que si $\mathbf{A}$ est définie positive, alors $\mathbf{U} = \mathbf{V}.$