4.8 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée

Rappelons que si \(\mathbf{E} \in \mathbb{K}^{m \times m}\) est une matrice élémentaire et si \(\mathbf{B}\in \mathbb{K}^{m \times n},\) alors \(\mathbf{E} \mathbf{B}\) est la matrice obtenue de \(\mathbf{B}\) en appliquant les opérations élémentaires sur les lignes correspondant à la matrice \(\mathbf{E}\).

Qu’en est-il de \(\mathbf{E}^{-1}\)? Son effet doit annuler l’effet de \(\mathbf{E}\) à \(\mathbf{B}\).

Si \(\mathbf{E}\) correspond à l’opération élémentaire sur les lignes \(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\), où \(i \neq j\) et \(\alpha \neq 0\), alors \(\mathbf{E}^{-1}\) correspond à l’opération élémentaire sur les lignes \(L_i \leftarrow L_i - \alpha L_j\). Par exemple, l’inverse de \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 1\end{bmatrix}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -7 & 1\end{bmatrix}\).

Si \(\mathbf{E}\) correspond à l’opération élémentaire sur les lignes \(L_i \leftrightarrow L_j\), où \(i \neq j\), alors \(\mathbf{E}\) est son propre inverse. En effet, appliquer \(L_i \leftrightarrow L_j\) deux fois de suite n’a aucun effet sur les lignes de \(\mathbf{B}.\) Par exemple, la matrice \(\mathbf{E}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\) est son propre inverse.

Si \(\mathbf{E}\) correspond à l’opération élémentaire sur les lignes \(L_i \leftarrow \alpha L_i\), où \(\alpha \neq 0\), alors \(\mathbf{E}^{-1}\) correspond à l’opération élémentaire sur les lignes \(L_i \leftarrow \alpha^{-1} L_i\). Par exemple, l’inverse de \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -3\end{bmatrix}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}\). Nous décrivons maintenant une façon d’obtenir \(\mathbf{A}^{-1}\), si \(\mathbf{A}\) est inversible, en utilisant la réduction.

Notons que l’on cherche une matrice \(\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{n\times n}\) telle que \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}_n\). Autrement dit, nous cherchons à résoudre l’équation matricielle \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}_n.\) Ainsi, on obtient la matrice inverse \(\mathbf{A}^{-1}\) en réduisant \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{I}_n\end{bmatrix}.\) Si la matrice résultante a la forme \(\begin{bmatrix}\mathbf{I}_n & \mathbf{B}\end{bmatrix},\) alors \(\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}\). Sinon, \(\mathbf{A}\) n’est pas inversible, comme nous le verrons plus tard.

À titre d’illustration, considérons \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}\). L’inverse de \(\mathbf{A}\) est une matrice \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{bmatrix}\) telle que \(\mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\).

La matrice \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{I}_2\end{bmatrix}\) se réduit à \[\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7}\\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & -\frac{1}{7}\end{array}\right].\] Puisque les deux premières colonnes de cette matrice forment la matrice identité, on obtient \(\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7}\\ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7}\end{bmatrix}.\)

Exemple 4.9 Soit \(\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{2\times 2}\) donnée par \(\begin{bmatrix} 1 & i \\ 0 & 2\end{bmatrix}\). Afin de calculer \(\mathbf{A}^{-1}\), nous réduisons \(\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & i & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right]\) comme suit :

\[\begin{align*} & ~ \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & i & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_2\leftarrow \frac{1}{2}L_2} & ~ \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & i & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_1\leftarrow L_1+(-i)L_2} & ~ \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 1 & -\frac{1}{2}i\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] \end{align*}\]

Ainsi, \(\mathbf{A}^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}i \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\).

Exercices

1. Déterminez si chacune des matrices suivantes est inversible. Si oui, déterminez son inverse.

   1. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)

   2. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

   3. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

2. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\) une matrice à éléments dans \(GF(2).\) Déterminez l’inverse de \(\mathbf{A}.\)

Solutions

1. 1. \(\begin{bmatrix} -\frac{2}{5} & \frac{3}{2} \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\)

   2. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

   3. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

2. En réduisant la matrice, on obtient \(\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{I}_3\end{bmatrix}:\) \[\begin{align*} & ~ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_2\leftarrow L_2 + L_1} & ~ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_3\leftarrow L_3 + L_2} & ~ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_2\leftarrow L_2 + L_3} & ~ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \\ \xrightarrow{L_1\leftarrow L_1 + L_2} & ~ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \end{align*}\] Ainsi, l’inverse de \(\mathbf{A}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\)