10.3 Sous-espaces orthogonaux
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}\). Rappelons que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \,:\,\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}\}\)
Soit \(\mathbf{d} \in {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\) (l’espace vectoriel engendré par les colonnes de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\)). Alors il existe \(\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m\) tel que \(\mathbf{d} = \mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{u},\) et \[\begin{align*} \mathbf{x}^\mathsf{T}\mathbf{d} & = \mathbf{x}^\mathsf{T}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{u}\right) \\ & = \left( \mathbf{x}^\mathsf{T}\mathbf{A}^\mathsf{T}\right) \mathbf{u} \\ & = \left(\mathbf{A}\mathbf{x}\right)^\mathsf{T}\mathbf{u} \\ & = \mathbf{0} \end{align*}\] Il s’ensuit que \[{\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = \left \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \,:\, \mathbf{d} \cdot \mathbf{x} = 0 \quad \forall \, \mathbf{d} \in {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}.\right\}\]
Autrement dit, \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) consiste précisément de tous les vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\). Ceci nous amène à définir les sous-espace orthogonaux et le complément orthogonal d’un sous-espace vectoriel.
Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Soient \(U\) et \(W\) des sous-espaces de \(V\). On dit que \(U\) et \(W\) sont orthogonaux, ce que l’on dénote par \(U \perp W\), si \(\langle { \mathbf{x} },{\mathbf{y} } \rangle = 0\) pour tout \(\mathbf{x} \in U\) et tout \(\mathbf{y} \in W.\)
Le complément orthogonal de \(U\), que l’on dénote par \(U^\perp,\) est défini par \[\left\{ \mathbf{x} \in V \,:\,\langle {\mathbf{x}},{\mathbf{d}} \rangle = 0 \quad \forall \, \mathbf{d} \in U\right\}.\]
Le résultat suivant est immédiat.
Proposition 10.1 Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Soient \(U\) et \(W\) des sous-espaces de \(V\). Alors, \(U^\perp\) est un sous-espace de \(V\) et \(U \cap W = \{\mathbf{0}\}\) si \(U \perp W.\)
On peut voir que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}^\perp\). Mais est-il vrai que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}^\perp = {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}?\) Ce résultat sera démontré dans la prochaine section.
Un important résultat de la théorie des matrices est le théorème 6.3 : \[\dim({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}) + \dim({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}) = n,\] pour tout \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m\times n}\).
On peut généraliser ce résultat de la manière suivante :
Théorème 10.1 Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire. Si \(W\) est un sous-espace de \(V,\) alors \[\dim(W) + \dim(W^\perp) = \dim(V).\]
Un résultat plus fort sera d’abord démontré dans la section prochaine.
Exercices
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\). Exprimez \(\mathbf{u}\) sous la forme \(\mathbf{y}+\mathbf{z}\), où \(\mathbf{y} \in {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\) et \(\mathbf{z} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}.\)
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\). Trouvez une base orthonormée du complément orthogonal de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})},\) où le produit scalaire est le produit scalaire usuel.
Démontrez la proposition 10.1.
Solutions
La forme échelonnée réduite de \(\mathbf{A}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\) Donc, \({\operatorname{Ker}({A})}\) est engendré par \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}.\)
Si l’énoncé de la question tient, on peut exprimer \(\mathbf{u}\) en tant que combinaison linéaire des colonnes de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) et de \(\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}\) en trouvant la solution de \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\] qui est donnée par \(\lambda_1 = \frac{2}{3},\) \(\lambda_2 = \frac{13}{6},\) et \(\lambda_3 = \frac{7}{6}.\)
En posant \(\mathbf{y} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{13}{6} \\ \frac{5}{6}\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{z} = \begin{bmatrix} \frac{7}{3} \\ -\frac{7}{6} \\ \frac{7}{6} \end{bmatrix},\) nous obtenons \(\mathbf{u} = \mathbf{y} + \mathbf{z}\), où \(\mathbf{y} \in {\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\) et \(\mathbf{z} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}.\)
Remarque. Nous allons voir plus tard une méthode plus directe utilisant la projection orthogonale.
Le complément orthogonal de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\) est donné par \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}^\mathsf{T}})}.\) La forme échelonnée réduite de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) est \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}.\] Ainsi, \(\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) engendre \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}^\mathsf{T}})}.\) La norme de \(\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) est \(\sqrt{35},\) d’où \(\left \{ \begin{bmatrix} \frac{5}{\sqrt{35}} \\ \frac{3}{\sqrt{35}} \\ \frac{1}{\sqrt{35}} \end{bmatrix} \right \}\) est une base orthogonale du complément orthogonal de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}.\)
Puisque \(U \perp W\), nous avons \(\langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{y} } \rangle = 0\) pour tout \(\mathbf{x} \in U\) et \(\mathbf{y} \in W.\) Si \(\mathbf{z} \in U \cap W,\) alors \(\langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{z} } \rangle = 0,\) ce qui implique \(\mathbf{z} = \mathbf{0}\) par définition du produit scalaire.
Montrons maintenant que \(U^\perp\) est un sous-espace de \(V.\)
Soient \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in U^\perp\) et \(\lambda\) un scalaire. Alors, \[\begin{align*} \langle {\lambda\mathbf{x} + \mathbf{y}},{\mathbf{d}} \rangle & = \lambda \langle {\mathbf{x}},{\mathbf{d}} \rangle + \langle {\mathbf{y}},{\mathbf{d}} \rangle \\ & = 0 \end{align*}\] pour chaque \(\mathbf{d} \in U,\) d’où \(\lambda \mathbf{x} + \mathbf{y} \in U^\perp,\) ce qui implique que \(U^\perp\) est un sous-espace de \(V.\)