3.1 Définition
Une équation linéaire est une équation de la forme : \[\sum_{i=1}^n a_i x_i = b,\] où \(x_1,\ldots, x_n\) sont des variables (ou inconnues) et \(a_1,\ldots, a_n, b\) sont des constantes.
La constante \(a_i\) est le coefficient de la variable \(x_i\).
Une équation linéaire est normalement définie sur un corps, c’est-à-dire que les constantes sont des éléments d’un corps et les valeurs recherchées pour les variables proviennent du même corps.
Les équations qui ne sont pas linéaires sont des équations nonlinéaires.
Exemple 3.1 \(x - 2y + 3z = 4\) est une équation linéaire dont les variables sont \(x,y,z\). Ici, le coefficient de \(x\) est 1. Une solution (il en existe plusieurs autres) est donnée par \(x = 3\), \(y = 1\), \(z = 1\).
Exemple 3.2 \(x_1 - \pi x_2 + 3x_3 - \sqrt{2} x_4 = 0\) est une équation linéaire en \(x_1,x_2,x_3,x_4\) comme variables. Le coefficient de \(x_2\) est \(\pi\), celui de \(x_4\) est \(\sqrt{2}\).
Soient \(\mathbb{K}\) un corps et \(m\), \(n\) des entiers positifs. Dans ce qui suit, on suppose que \(a_{ij}\in \mathbb{K}\) et \(b_i\in\mathbb{K}\), pour \(i=1,...,m\) et \(j=1,...,n\). Un système d’équations linéaires en variables \(x_1,\ldots,x_n\) est défini par : \[\begin{align*} \sum_{j=1}^n a_{1j} x_j & = b_1 \\ \sum_{j=1}^n a_{2j} x_j & = b_2 \\ & \vdots \\ \sum_{j=1}^n a_{mj} x_j & = b_m. \end{align*}\]
Une solution du système est un choix d’éléments de \(\mathbb{K}\) assignées aux \(x_1,\ldots,x_n\) tel que pour chaque équation, le côté gauche prend la même valeur que le côté droit. Par résoudre le système, on entend trouver une solution ou toutes les solutions du système, selon le contexte.
Dans plusieurs applications, on doit résoudre des systèmes d’équations linéaires de façon rapide. C’est le cas, par exemple, des prévisions météorologiques et de l’optimisation d’un portfolio d’investissement. Il y en a plusieurs autres.
Nous sommes intéressés à trouver des manières de résoudre de tels systèmes et à identifier les structures mathématiques qui émergent de la recherche de solutions.
Exemple 3.3 Considérons le système d’équations linéaires suivant sur \(\mathbb{R}\) : \[\begin{align*} x_1 + 3x_2 & = 2 \\ -x_1 + 2x_2 & = 3. \end{align*}\] Si \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 1\), on vérifie que le côté gauche prend la même valeur que le côté droit pour les deux équations. C’est donc une solution du système.
3.1.1 Deux cas spéciaux
Deux cas spéciaux, pour lesquels l’obtention de solutions est assez simple, sont maintenant à l’étude.
Cas 1: Le système n’a qu’une seule variable.
Considérons le système suivant sur \(\mathbb{Q}\) : \[\begin{align*} 2x & = 8 && (\text{A})\\ -x & = -4 && (\text{B})\\ 3x & = 2 && (\text{C}) \\ \end{align*}\]
Existe-t-il une valeur de \(x \in \mathbb{Q}\) satisfaisant à toutes les équations?
On remarque que \((\text{A})\) est équivalent à \(x = 4\), suite à la multiplication par \(1/2\) de chaque côté. De plus, \((\text{C})\) est équivalent à \(x = 2/3\), suite à la multiplication par \(1/3\) de chaque côté. Puisque \(x\) ne peut être à la fois égal à \(4\) et \(2/3\), il n’y a pas de solution.
En général, pour la résolution d’un système à une seule variable, chaque équation est mise sous la forme \(x = \beta_{i}\), où \(\beta_{i}\) est une constante. Si tous les \(\beta_{i}\) sont égaux, alors \(x = \beta_{i}=\beta\) est la solution unique du système. Sinon, le système n’admet pas de solution.
Cas 2: Le système n’a qu’une seule équation.
Considérons le système suivant sur \(\mathbb{Q}\), qui consiste en une seule équation à trois variables: \[x_1 + 2x_2 - x_3 = 5.\] Nous désirons trouver toutes les valeurs rationnelles que l’on puisse assigner à \(x_1, x_2\) et \(x_3\) de façon à obtenir l’égalité.
On additionne de part et d’autre par \(-2x_2+x_3\) afin d’obtenir \[x_1 = 5 - 2x_2 + x_3.\]
Observons que peu importe la valeur assignée à \(x_2\) et à \(x_3\), la valeur de \(x_1\) est contrainte à être \(5-2x_2+x_3\). Par exemple, si \(x_2 = 0\) et \(x_3 = 1\), alors \(x_{1}=5-2(0)+1 = 6\), d’où \(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\0\\1\end{bmatrix}\) est une solution de l’équation.
Puisqu’on est libre de choisir \(x_2 = s \in \mathbb{Q}\) et \(x_3 = t \in \mathbb{Q}\), on obtient \(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5-2s+t\\s\\t\end{bmatrix}\). Comme \(s\) et \(t\) couvrent tous les nombres rationnels, on obtient toutes les solutions rationnelles de l’équation. Par ce procédé, il y en a une infinité.
Plus généralement, un système d’équations linéaires ayant une seule équation mais au moins deux variables dont les coefficients sont nuls admet une infinité de solutions, à moins que le corps n’ait qu’un nombre fini d’éléments.
Exercices
Déterminez toutes les solutions rationnelles des systèmes suivants :
\(\begin{array}{rcl} 2x - 1 & = & 5 \\ 3x & = & 9 \\ 2-x & = & x \\ \end{array}\)
\(2x - 3y = 4\)
Est-il possible pour un système à valeurs dans \(\mathbb{R}\) n’ayant qu’une seule équation d’admettre exactement deux solutions?
Solutions
Le système n’admet aucune solution car les deux premières équations impliquent que \(x = 3,\) mais \(x = 3\) ne satisfait pas à la troisième équation.
Les solutions du système sont donnée par \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3t + 2\\2t \end{bmatrix}\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\). On peut également les écrire de manière différentes.
- Non. (Il est difficile de le démontrer à l’aide des connaissances des premiers chapitres. Cependant, la réponse va devenir évidente d’ici la fin du présent chapitre. Notons que si on remplace \(\mathbb{R}\) par \(GF(2),\) la réponse change puisque l’équation \(x_1 + x_2 = 0\) admet exactement deux solutions dans \(GF(2)\).)