4.5 Exemples de matrices élémentaires

Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -2 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}.$ Nous allons obtenir la FER de $\mathbf{A}$ en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. Dans ce qui suit, chaque étape montre l’état actuel de la matrice et l’opération élémentaire sur les lignes à appliquer afin d’obtenir la prochaine matrice. La matrice élémentaire correspondant à chaque opération est indiquée en parenthèses.

$$\begin{align*} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \\ \xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 + 2 L_1} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} && \left(\mathbf{M}^{(1)} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right) \\ \xrightarrow{L_2 \leftrightarrow L_3} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} && \left(\mathbf{M}^{(2)} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\right) \\ \xrightarrow{L_2 \leftarrow \frac{1}{2}L_2} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} && \left(\mathbf{M}^{(3)} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \\ \xrightarrow{L_1 \leftarrow L_1 + (-2)L_3} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} && \left(\mathbf{M}^{(4)} = \begin{bmatrix}1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\right) \end{align*}$$

La dérivation précédente montre que $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A},$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(2)}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A}),$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(3)}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A})),$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(4)}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A}))).$$

D’après le dernière égalité, on remarque que $\mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A}))) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$. Le côté gauche est en désordre, mais nous savons maintenant qu’il existe une matrice $\mathbf{M}$ telle que $$\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A}))).$$ En effet, il découle du théorème 4.1 que $$\mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}(\mathbf{M}^{(1)}\mathbf{A}))) = (\mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{M}^{(1)})))\mathbf{A}.$$ Nous pouvons d’abord calculer $\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{M}^{(1)}$, puis calculer $\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{M}^{(1)})$, et finalement calculer $\mathbf{M}^{(4)}(\mathbf{M}^{(3)}(\mathbf{M}^{(2)}\mathbf{M}^{(1)})).$ Cela nous donne $\mathbf{M} = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\\2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$. Il est facile de vérifier que $\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{I}_3.$

Remarque. S’il n’est pas nécessaire de spécifier chacune des matrices élémentaires, on peut obtenir $\mathbf{M}$ directement en appliquant la même série d’opérations élémentaires sur les lignes à la matrice identité $\mathbf{I}_3$. (À essayer.)

La matrice $\mathbf{M}$ est l’inverse à gauche de $\mathbf{A}.$ Lorsque l’on la multiplie à gauche de $\mathbf{A}$, on obtient la matrice identité. Ce aussi le cas si nous multiplions à la droite de $\mathbf{A}$, c’est-à-dire que $\mathbf{A}\mathbf{M} = \mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{I}_3.$ Comme nous allons le voir dans la section suivante, ce n’est pas un coïncidence.

Exercices

1. Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{5 \times m},$ $m \geq 1.$ Soit $\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$ À quoi équivalant le produit $\mathbf{M}\mathbf{A}$?

   1. Échanger les lignes 2 et 3, pour ensuite échanger les lignes 3 et 5.

   2. Échanger les lignes 2 et 3 pour ensuite échanger les lignes 2 et 5.

   3. Échanger les lignes 3 et 5 pour ensuite échanger les lignes 2 et 3.

2. Trouvez un inverse à gauche de chacune des matrices suivantes.

   1. $\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

   2. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}$

Solutions

1. Échanger les lignes 2 et 3 et ensuite échanger les lignes 3 et 5.

2. 1. $\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.

   2. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.