9.3 Produit scalaire

Cette section sera consacrée à une autre généralisation du produit scalaire, en particulier pour les espaces vectoriels à scalaires dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}.$ Les produits scalaires ainsi définis ont des applications dans des domaines comme les traitements des signaux et la physique quantique.

Soit $(V,\mathbb{K})$ un espace vectoriel où $\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}.$ L’application $\langle { \cdot },{ \cdot } \rangle:V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ est appelé un produit scalaire sur $V$ si, pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \in V$ et $\lambda \in \mathbb{K},$ les conditions suivantes sont satisfaites :

1. $\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = \overline{ \langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle}.$
2. $\langle { \lambda \mathbf{u}+\mathbf{z} },{ \mathbf{w} } \rangle = \lambda \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle+\langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{w} } \rangle.$
3. $\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} } \rangle \geq 0$ avec égalité si et seulement si $\mathbf{u} = \mathbf{0}.$

Exemple 9.4 On voit aisément le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}.$

Exemple 9.5 Le produit scalaire usuel sur $\mathbb{C}^n$ est défini par $\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = \overline{ \mathbf{w}^\mathsf{T}}{ \mathbf{u} }.$ Notons que lorsque l’on restreint $\mathbf{u}$ et $\mathbf{w}$ à $\mathbb{R}^n,$ ce produit scalaire est réduit au produit scalaire usuel.

 

$\mathbf{u}, \mathbf{w} \in V$ sont orthogonaux par rapport au produit scalaire si $\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = 0.$

En définissant $$\| \mathbf{u} \| = \sqrt{ \langle { \mathbf{u} },{\mathbf{u} } \rangle },$$ il n’est pas difficile de vérifier que les propriétés suivantes sont satisfaites :

1. $\| \mathbf{u}\|\geq 0.$
2. $\| \mathbf{u} - \mathbf{w} \|=\| \mathbf{w} - \mathbf{u} \|.$
3. $\| \mathbf{u}\|=0$ si et seulement si $\mathbf{u}=\mathbf{0}.$
4. $\| \alpha \mathbf{u} \| = \lvert \alpha \rvert \| \mathbf{u} \|$ pour tout $\alpha \in \mathbb{K}.$

Théorème 9.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) $\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{w}\|.$

Démonstration. Il suffit de montrer que $\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert^2 \leq \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle.$

Soit $\lambda = \frac{ \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} } { \langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle }.$ Alors, $$\begin{align*} 0 \leq \| \lambda \mathbf{u} - \mathbf{w} \|^2 & = \langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle \\ & = \lambda \langle {\mathbf{u}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle - \langle {\mathbf{w}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle \\ & = \lambda\overline{\langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\mathbf{u}} \rangle} - \overline{\langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle} \\ & = \lambda \left(\overline{\lambda} \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle - \overline{\langle {\mathbf{w}},{\mathbf{u}} \rangle} \right) - \left(\overline{\lambda \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} - \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle\right) \\ & = \lambda \overline{\lambda} \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle - \lambda \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle - \overline{\lambda\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle \\ & = \frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} -\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} -\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle \\ & = - \frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle, \end{align*}$$ d’où $$\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} \leq \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle,$$ ce qui implique que $$\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert^2 \leq \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle,$$ tel que désiré.

Théorème 9.2 (Inégalité triangulaire) $\| \mathbf{u} + \mathbf{w} \| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{w}\|.$

Démonstration. Notons que $$\begin{align*} \| \mathbf{u} + \mathbf{w} \|^2 & = \langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle + \langle {\mathbf{w}},{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \overline{\langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{ \langle {\mathbf{u} + \mathbf{w}},{ \mathbf{w} } \rangle} \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle + \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \mathfrak{Re}\left({ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right) +\| \mathbf{w} \|^2 \\ & \leq \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \left\lvert{\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle}\right\rvert + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & \leq \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \| \mathbf{u} \| \| \mathbf{w} \| + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = (\| \mathbf{u} \| + \| \mathbf{w} \|)^2. \end{align*}$$ Le résultat suit maintenant en prenant les racines carrées de chaque côté.

Exercices

1. Soient $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1-i \\ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{w} = \begin{bmatrix} i \\ 1+i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2.$ Évaluez $\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle$ où $\langle {\cdot},{\cdot} \rangle$ est le produit scalaire usuel.

2. Soit un espace vectoriel $V$ muni d’un produit scalaire. Démontrez que si $\mathbf{u}, \mathbf{w} \in V$ sont orthogonaux, alors $$\|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u} + \mathbf{w}\|^2.$$ (Ce résultat est connu comme le théorème de Pythagore.)

3. Soit un espace vectoriel $V$ muni d’un produit scalaire. Montrez que $\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} + \mathbf{z} } \rangle = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle + \langle {\mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle$ pour tous $\mathbf{u}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \in V.$

Solutions

1. $\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle = \overline{\mathbf{w}^\mathsf{T}}\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 & 1-i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-i \\ 2\end{bmatrix} = 1-i + 2-2i = 3 - 3i.$

2. Notons que $$\begin{align*} \|\mathbf{u} + \mathbf{w}\|^2 & = \langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle + \langle {\mathbf{w}},{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \overline{\langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{ \langle {\mathbf{u} + \mathbf{w}},{ \mathbf{w} } \rangle} \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle + \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + 0 + \overline{0} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \| \mathbf{w} \|^2 \\ \end{align*}$$

3. Notons que $$\begin{align*} \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} + \mathbf{z} } \rangle & = \overline{\langle { \mathbf{w} + \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \overline{\langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle + \langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \overline{\langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{\langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle + \langle {\mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle. \end{align*}$$