9.3 Produit scalaire

Cette section sera consacrée à une autre généralisation du produit scalaire, en particulier pour les espaces vectoriels à scalaires dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}.\) Les produits scalaires ainsi définis ont des applications dans des domaines comme les traitements des signaux et la physique quantique.

Soit \((V,\mathbb{K})\) un espace vectoriel où \(\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}.\) L’application \(\langle { \cdot },{ \cdot } \rangle:V \times V \rightarrow \mathbb{K}\) est appelé un produit scalaire sur \(V\) si, pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \in V\) et \(\lambda \in \mathbb{K},\) les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = \overline{ \langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle}.\)
2. \(\langle { \lambda \mathbf{u}+\mathbf{z} },{ \mathbf{w} } \rangle = \lambda \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle+\langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{w} } \rangle.\)
3. \(\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} } \rangle \geq 0\) avec égalité si et seulement si \(\mathbf{u} = \mathbf{0}.\)

Exemple 9.4 On voit aisément le produit scalaire usuel sur \(\mathbb{R}^n\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}.\)

Exemple 9.5 Le produit scalaire usuel sur \(\mathbb{C}^n\) est défini par \(\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = \overline{ \mathbf{w}^\mathsf{T}}{ \mathbf{u} }.\) Notons que lorsque l’on restreint \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{w}\) à \(\mathbb{R}^n,\) ce produit scalaire est réduit au produit scalaire usuel.

 

\(\mathbf{u}, \mathbf{w} \in V\) sont orthogonaux par rapport au produit scalaire si \(\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle = 0.\)

En définissant \[\| \mathbf{u} \| = \sqrt{ \langle { \mathbf{u} },{\mathbf{u} } \rangle },\] il n’est pas difficile de vérifier que les propriétés suivantes sont satisfaites :

1. \(\| \mathbf{u}\|\geq 0.\)
2. \(\| \mathbf{u} - \mathbf{w} \|=\| \mathbf{w} - \mathbf{u} \|.\)
3. \(\| \mathbf{u}\|=0\) si et seulement si \(\mathbf{u}=\mathbf{0}.\)
4. \(\| \alpha \mathbf{u} \| = \lvert \alpha \rvert \| \mathbf{u} \|\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{K}.\)

Théorème 9.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) \(\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{w}\|.\)

Démonstration. Il suffit de montrer que \(\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert^2 \leq \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle.\)

Soit \(\lambda = \frac{ \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} } { \langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle }.\) Alors, \[\begin{align*} 0 \leq \| \lambda \mathbf{u} - \mathbf{w} \|^2 & = \langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle \\ & = \lambda \langle {\mathbf{u}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle - \langle {\mathbf{w}},{\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}} \rangle \\ & = \lambda\overline{\langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\mathbf{u}} \rangle} - \overline{\langle {\lambda \mathbf{u} - \mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle} \\ & = \lambda \left(\overline{\lambda} \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle - \overline{\langle {\mathbf{w}},{\mathbf{u}} \rangle} \right) - \left(\overline{\lambda \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} - \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle\right) \\ & = \lambda \overline{\lambda} \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle - \lambda \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle - \overline{\lambda\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle \\ & = \frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} -\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} -\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle \\ & = - \frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} + \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle, \end{align*}\] d’où \[\frac{\left\lvert{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle}\right\rvert^2}{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle} \leq \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle,\] ce qui implique que \[\left\lvert{ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right\rvert^2 \leq \langle {\mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle \langle {\mathbf{w}},{\mathbf{w}} \rangle,\] tel que désiré.

Théorème 9.2 (Inégalité triangulaire) \(\| \mathbf{u} + \mathbf{w} \| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{w}\|.\)

Démonstration. Notons que \[\begin{align*} \| \mathbf{u} + \mathbf{w} \|^2 & = \langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle + \langle {\mathbf{w}},{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \overline{\langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{ \langle {\mathbf{u} + \mathbf{w}},{ \mathbf{w} } \rangle} \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle + \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \mathfrak{Re}\left({ \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle }\right) +\| \mathbf{w} \|^2 \\ & \leq \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \left\lvert{\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle}\right\rvert + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & \leq \| \mathbf{u} \|^2 + 2 \| \mathbf{u} \| \| \mathbf{w} \| + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = (\| \mathbf{u} \| + \| \mathbf{w} \|)^2. \end{align*}\] Le résultat suit maintenant en prenant les racines carrées de chaque côté.

Exercices

1. Soient \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1-i \\ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{w} = \begin{bmatrix} i \\ 1+i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2.\) Évaluez \(\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle\) où \(\langle {\cdot},{\cdot} \rangle\) est le produit scalaire usuel.

2. Soit un espace vectoriel \(V\) muni d’un produit scalaire. Démontrez que si \(\mathbf{u}, \mathbf{w} \in V\) sont orthogonaux, alors \[\|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u} + \mathbf{w}\|^2.\] (Ce résultat est connu comme le théorème de Pythagore.)

3. Soit un espace vectoriel \(V\) muni d’un produit scalaire. Montrez que \(\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} + \mathbf{z} } \rangle = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle + \langle {\mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle\) pour tous \(\mathbf{u}, \mathbf{w}, \mathbf{z} \in V.\)

Solutions

1. \(\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle = \overline{\mathbf{w}^\mathsf{T}}\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 & 1-i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-i \\ 2\end{bmatrix} = 1-i + 2-2i = 3 - 3i.\)

2. Notons que \[\begin{align*} \|\mathbf{u} + \mathbf{w}\|^2 & = \langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle + \langle {\mathbf{w}},{ \mathbf{u} + \mathbf{w} } \rangle \\ & = \overline{\langle { \mathbf{u} + \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{ \langle {\mathbf{u} + \mathbf{w}},{ \mathbf{w} } \rangle} \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} } \rangle + \overline{\langle {\mathbf{u}},{\mathbf{w}} \rangle} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + 0 + \overline{0} + \| \mathbf{w} \|^2 \\ & = \| \mathbf{u} \|^2 + \| \mathbf{w} \|^2 \\ \end{align*}\]

3. Notons que \[\begin{align*} \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{w} + \mathbf{z} } \rangle & = \overline{\langle { \mathbf{w} + \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \overline{\langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle + \langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \overline{\langle { \mathbf{w} },{ \mathbf{u} } \rangle} + \overline{\langle { \mathbf{z} },{ \mathbf{u} } \rangle} \\ & = \langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle + \langle {\mathbf{u} },{ \mathbf{z} } \rangle. \end{align*}\]