4.11 Propriétés des matrices

Dans cette section, \(S\) dénote un ensemble sur lequel l’addition et la multiplication sont définies, associatives, et commutatives.

4.11.1 Addition de matrices

Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{B} \in S^{m\times n}.\) Alors, \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\) est la matrice \(\mathbf{C} \in m\times n\) telle que \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij},\) pour \(i = 1,\ldots,m\) et \(j = 1,\ldots,n.\)

Exemple 4.14 \[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1+1 & 2+0 & 3+(-1)\\ 4+2 & 5+(-2) & 6+0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2\\ 6 & 3 & 6\end{bmatrix}\]

Soient \(\mathbf{A} \in S^{m\times m},\) \(\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D} \in S^{m \times n},\) et \(\mathbf{E}\in S^{n \times n}\). Alors, les propriétés suivantes sont satisfaites :

  • \(\mathbf{B}+(\mathbf{C}+\mathbf{D}) = (\mathbf{B}+\mathbf{C})+\mathbf{D}\)

  • \(\mathbf{B}+\mathbf{C} = \mathbf{C}+\mathbf{B}\)

  • \(\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}\)

  • \((\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{E} = \mathbf{B}\mathbf{E}+ \mathbf{C}\mathbf{E}\)

4.11.2 Multiplication par un scalaire

Si \(\alpha \in S\) et \(\mathbf{A}\) est une matrice, alors \(\alpha \mathbf{A}\) est la matrice obtenue de \(\mathbf{A}\) en multipliant chaque élément par \(\alpha\).

Exemple 4.15 \[(-2)\begin{bmatrix}1 & 0 \\3 & -2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -2 & 0\\ -6 & 4\end{bmatrix}\]
Exemple 4.16 \[(1+i)\begin{bmatrix}1 & 0 \\i & 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1+i & 0\\ -1+i & 2 + 2i\end{bmatrix}\]

On définit \(-\mathbf{A}\) par \((-1)\mathbf{A}\) et la soustraction de matrices comme suit : \(\mathbf{A}-\mathbf{B}= \mathbf{A}+(-1)\mathbf{B}\).

Soient \(\alpha, \beta \in S.\) \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) des matrices \(m\times n\) et \(\mathbf{C}\) une matrice \(p\times m\). Les propriétés suivantes sont satisfaites :

  • \(\alpha(\mathbf{A}+\mathbf{B})= \alpha \mathbf{A}+\alpha \mathbf{B}\)

  • \((\alpha+\beta)\mathbf{A} = \alpha \mathbf{A} + \beta \mathbf{A}\)

  • \(\alpha(\beta \mathbf{A}) = (\alpha\beta)\mathbf{A}\)

  • \(\mathbf{C}(\alpha \mathbf{A}) = (\alpha \mathbf{C})\mathbf{A} = \alpha(\mathbf{C}\mathbf{A})\)

4.11.3 La transposée d’une matrice

La transposée d’une matrice \(\mathbf{A} \in S^{m \times n},\) que l’on dénote par \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\), est la matrice \(n \times m\) telle que l’élément \((j,i)\) est donné par \(a_{i,j}\) pour \(i = 1,\ldots,m\) et \(j= 1,\ldots, n\). Autrement dit, la \(i\)-ième colonne de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) vient de la \(i\)-ième ligne de \(\mathbf{A}\).

Exemple 4.17 Soit \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\end{bmatrix}\). Alors \(\mathbf{A}^\mathsf{T}= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix}\).

Exemple 4.18 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}\). Alors \(\mathbf{A}^\mathsf{T}=\begin{bmatrix} 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\).

Les propriétés suivantes sont satisfaites :

  • \((\mathbf{A}^\mathsf{T})^\mathsf{T}= \mathbf{A}\)

  • Si \(\lambda\) est un scalaire, alors \((\lambda \mathbf{A})^\mathsf{T}= \lambda \mathbf{A}^\mathsf{T}\)

  • \((\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{T}= (\mathbf{A}^\mathsf{T})^{-1}\)

  • \((\mathbf{A}+\mathbf{B})^\mathsf{T}= \mathbf{A}^\mathsf{T}+\mathbf{B}^\mathsf{T}\) pour tout \(\mathbf{B}\) de même taille que \(\mathbf{A}\)

  • Si \(\mathbf{A} \in S^{m\times p}\) et \(\mathbf{B} \in \mathbf{B} \in S^{p\times n},\) alors \((\mathbf{A}\mathbf{B})^\mathsf{T}= \mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}^\mathsf{T}\).

4.11.4 Puissance d’une matrice

Soient \(\mathbf{A} \in S^{n \times n}\) et \(k\) un entier naturel. On défini \[\mathbf{A}^0 = \mathbf{I}_n\] et \[\mathbf{A}^k = \mathbf{A}\mathbf{A}^{k-1},\] lorsque \(k > 1.\)

De cette définition, on voit immédiatement que \(\mathbf{A}^1 = \mathbf{A}\mathbf{A}^0 = \mathbf{A}\mathbf{I}_n = \mathbf{A}\) et \(\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}\mathbf{A}^1 = \mathbf{A}\mathbf{A}\).

Exemple 4.19 \[\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix}^3 & = & \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix}^2 \\ & = & \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix} \left(\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix}\right) \\ & = & \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3\\ 0 & 4\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix} 1 & -7\\ 0 & 8\end{bmatrix} \end{eqnarray}\]

Si \(S\) est un corps et \(\mathbf{A}\) est inversible, alors \(\mathbf{A}^k\) l’est également et \(\left(\mathbf{A}^k\right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1}\right)^k\). On écrit \(\mathbf{A}^{-k}\) au lieu de \(\left(\mathbf{A}^k\right)^{-1}\).

Le calcul de puissances de matrices ne s’effectue pas aussi facilement que le calcul de puissances de nombres. Cependant, quelques cas existent où la puissance d’une matrice se calcule relativement aisément.

Exercices

  1. Exprimez chacune des matrices suivantes sous un forme aussi simple que possible.

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} 7 & 2 \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}^\mathsf{T}\)

    4. \(\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^\mathsf{T}+ 2\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right)^\mathsf{T}\)

  2. Calculez chacune des puissances des matrices suivantes.

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}^3\)

    2. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}^6\)

    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & i\end{bmatrix}^{-2}\)

Solutions

    1. \(\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 5 & 2 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} 4 & -2 \end{bmatrix}\)

    4. \(\begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 7 & 6 \end{bmatrix}\)

    1. \(\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -1 & 5\end{bmatrix}\)

    2. \(\begin{bmatrix} 64 & 0 \\ 0 & 729\end{bmatrix}\) or \(\begin{bmatrix} 2^6 & 0 \\ 0 & 3^6\end{bmatrix}\)

    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}\)