4.10 Matrices singulières
Rappelons qu’une matrice carrée ayant un inverse est dite inversible. Ce ne sont pas toutes les matrices carrées à éléments dans un corps donné qui sont inversible. On dit d’une telle matrice qu’elle est non inversible.
Par exemple, \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) est non inversible puisque \(\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix}\) pour chaque \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a& b\\ c & d\end{bmatrix},\) d’où \(\mathbf{B}\mathbf{A} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) peu importe les valeurs de \(a,b,c\) et \(d\).
Il existe une façon de vérifier si une matrice est inversible sans avoir à trouver l’inverse de cette matrice (s’il existe) : Une matrice \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps, est inversible si et seulement s’il n’existe pas de \(\mathbf{x} \in \mathbb{K}^n\) non nul, tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Notons que l’existence d’un tel \(\mathbf{x} \in \mathbb{K}^n\) ne requiert de condition au sujet de la taille de \(\mathbf{A}\) et de l’ensemble d’où proviennent les éléments de \(\mathbf{A}\) et de \(\mathbf{x}\). On dit qu’une matrice \(\mathbf{A}\) est singulière s’il existe \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0},\) tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Une matrice qui n’est pas singulière est non singulière. Pour les matrices carrés à éléments dans un corps, les notions de matrices singulières et de matrices non inversibles sont équivalentes.
4.10.1 Tester la singularité
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Rappelons que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) admet toujours la solution triviale (l’uplet dont toutes les composantes sont nulles). Toutes les autres solutions sont dites non triviales.
Si une solution non triviale de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) ne se trouve pas immédiatement, nous pouvons déterminer si une solution existe en réduisant \(\mathbf{A}\) en FER en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes. Le système admet une solution non triviale si et seulement si la FER de \(\mathbf{A}\) possède au moins une colonne libre.
Exemple 4.12 La matrice \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 6\end{bmatrix}\) est singulière car \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}\) est une solution non triviale du système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Exemple 4.13 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{bmatrix}\) définie sur \(GF(2)\). On applique les des opérations élémentaires \(L_1 \leftarrow L_1+L_2\) et (ensuite) \(L_3\leftarrow L_3+L_1\) d’obtenir \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}.\) Puisque la troisième colonne est une colonne libre, \(\mathbf{A}\) est singulière. En particulier, \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\) satisfait à \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
4.10.2 Pourquoi les matrices carrées singulières ne sont-elles pas inversible?
Soit \(\mathbf{A}\) une matrice carrée à éléments dans un corps \(\mathbb{K}\). Supposons que \(\mathbf{x}\) soit une solution non triviale de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\). Si \(\mathbf{A}^{-1}\) existe, alors \(\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{0}\), ce qui implique que \((\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{x} = \mathbf{0}\). Mais \(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}\). Ainsi, \(\mathbf{I}\mathbf{x} = \mathbf{0}\), ce qui contredit \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}.\)
Les matrices inversibles sont certainement non singulières car si \(\mathbf{x}\) est tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\), alors \[\mathbf{x} = \mathbf{I}\mathbf{x} = (\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A})\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{x}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{0} = \mathbf{0}.\] Ainsi, la solution triviale est la seule solution de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Grâce à l’observation précédente, nous pouvons comprendre pourquoi la réduction de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{I}\end{bmatrix}\), où \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), détermine si \(\mathbf{A}\) est inversible en nous donnant \(\mathbf{A}^{-1}\) de droite lorsque c’est le cas. S’il y a une colonne libre dans les premières \(n\) colonnes de la FER de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{I}\end{bmatrix}\), alors que \(\mathbf{A}\) est singulière et donc non inversible. Sinon, la matrice réduite prend la forme \(\begin{bmatrix}\mathbf{I} & \mathbf{B}\end{bmatrix}\) et, comme nous l’avons vu précédemment, \(\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}\).
Exercices
Déterminez si les matrices suivantes sont singulières.
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 8\end{bmatrix}\)
Solutions
Singulière.
Non singulière.