8.8 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Soit \(T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3\) une application linéaire telle que \(T\left(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\) et \(T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}\). Que vaut \(T\left(\begin{bmatrix} 0 \\ -1\end{bmatrix}\right)\)?

2. Considérez l’application linéaire \(T:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^{2\times 2}\) définie par \(T \left(\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d\\ \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2a+b+c & a-d \\ a+b+c-d & 0 \\ \end{bmatrix}.\)

   1. Trouvez une base de l’image de \(T\).

   2. Trouvez une base du noyau de \(T\).

   3. \(T\) est-elle surjective? Injective?

3. Soient \(\mathbb{K}= GF(2)\) et \(T:\mathbb{K}^4 \rightarrow \mathbb{K}^3\) l’application linéaire définie par \[T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + x_4 \\ x_1 + x_3 + x_4 \\ x_2 + x_3 + x_4 \end{bmatrix}.\] Trouvez une base du noyau de \(T\).

4. Soit \(T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) l’application linéaire définie par \(T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + x_3 \\ -x_1 -x_2 + x_3 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}\). Déterminez si \(T\) est inversible.

5. Soit \(T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par \(T\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ -x_1 -x_2 + x_3\end{bmatrix}\). Soit \(\Gamma = \left (\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right )\) une base ordonnée de \(\mathbb{R}^3\) et soit \(\Omega = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1\end{bmatrix} \right )\) une base ordonnée de \(\mathbb{R}^2\). Déterminez \([T]_\Gamma^\Omega\).

6. Soit \(T:P_2(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}^3\) l’application linéaire définie par \[T (ax^2 + bx + c) = \begin{bmatrix} 2a-b \\ b+2c \\ 0\end{bmatrix}.\] Déterminez la dimension du noyau de \(T\).

7. Soit \(V\) le sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) définie par \(\left\{ \begin{bmatrix} a \\ b \\ a- b\end{bmatrix} \,:\,a,b \in \mathbb{R}\right\}.\) Trouvez une base de l’espace dual algébrique \(V^*.\)