3.4 Représentation matricielle
Considérons le système \[\begin{align*} u - 2v + w & = 4\\ -u -2w & = 5, \end{align*}\] où \(u, v\) et \(w\) sont les variables du système.
On peut réécrire ce système sous la forme d’un uplet: \(\begin{bmatrix} u- 2v + w\\ -u - 2w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\5\end{bmatrix}\), puisque deux uplets sont égaux si et seulement si leurs composantes correspondantes sont égales.)
Nous introduisons maintenant une nouvelle façon d’écrire ce système sous forme matricielle : \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}.\]
Il y a trois composantes dans la représentation matricielle d’un système d’équations linéaires. La matrice de gauche est la matrice des coefficients. La première ligne de la matrice contient les coefficients de la première équation. La deuxième ligne contient les coefficients de la deuxième équation. L’ordre selon lequel les coefficients sont présentés est important. On doit déterminer à l’avance quelle colonne de la matrice représente chaque variable.
La seconde matrice est un uplet formé des variables, énumérées dans l’ordre approprié. Le premier élément du uplet, \(u\) dans ce cas, correspond à la première colonne de la matrice des coefficients.
Dans le même ordre d’idée, le deuxième élément, \(v\), correspond à la deuxième colonne de la matrice des coefficients, et le troisième élément, \(w\), correspond à la troisième colonne de la matrice des coefficients.
Finalement, la matrice de droite est un uplet contenant les valeurs à droite de chacune des équations.
Pour indiquer une évaluation du côté gauche pour un choix de valeurs assignées à \(u, v, w\), disons \(u = 1\), \(v = 2\) et \(w = 3\), on écrit \(\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\), qui s’évalue comme suit : \[\begin{bmatrix} 1\cdot 1 + (-2)\cdot 2 + 1\cdot 3 \\ (-1)\cdot 1 + 0\cdot 2 + (-2)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -7 \end{bmatrix}.\]
Si \(\mathbf{A}\) dénote la matrice des coefficients, \(\mathbf{x}\) l’uplet des variables, et \(\mathbf{b}\) l’uplet des constantes du système, alors le système peut s’écrire de manière compacte sous la forme \[\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}.\]
Considérons maintenant la représentation matricielle d’un système d’équations linéaires général. Soient \(\mathbb{K}\) un corps et \(m\), \(n\) des entiers positifs. Soit \(\mathbb{K}^{m \times n}\) l’ensemble des matrices ayant \(m\) lignes et \(n\) colonnes à éléments dans \(\mathbb{K}\). Soient \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m\end{bmatrix}\), où \(x_1,\ldots,x_n\) sont des variables et \(b_1,\ldots,b_m\in \mathbb{K}\).
Le produit \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) est le \(m\)-uplet \[\begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix},\] où \(a_{ij}\) dénote l’élément de la \(i\)-ième ligne et la \(j\)-ième colonne de \(\mathbf{A}\), que l’on appelle l’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{A}\).
Ainsi, \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) représente le système d’équations linéaires donné par \[\begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n & = b_m, \end{align*}\] un système de \(m\) équations à \(n\) inconnues.
Exercices
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\). Quel est l’élément \((2,1)\) de \(\mathbf{A}\)?
Écrivez chacune des équations matricielles \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) suivantes sous la forme d’un système d’équations linéaires.
\(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 4 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ -6 \end{bmatrix}\).
\(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\).
Solutions
Le système est \[\begin{align*} x - 2z & = 5 \\ -3 y + 4z & = -6 \end{align*}\]
Le système est \[\begin{align*} x_2 & = b_1 \\ x_3 & = b_2 \\ x_1 & = b_3 \\ \end{align*}\]