4.4 Matrices élémentaires
Dans cette section, nous allons voir que lorsque l’on applique à une matrice à éléments dans un corps une opération élémentaire sur les lignes, on obtient le même résultat qu’en multipliant à gauche la matrice par une matrice particulière.
Pour illustrer le concept, on applique à \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 2 & 6 & 0 \\-2 & 1 & 0\end{bmatrix}\) chacune des trois types d’opération élémentaire sur les lignes.
L’échange de deux lignes
Supposons que l’on échange les lignes 1 et 3 (\(L_1 \leftrightarrow L_3\)). La matrice obtenue est \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0\\ 2 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{bmatrix}.\) Notons que cette matrice est identique au produit \(\mathbf{M}\mathbf{A}\), où \(\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}.\) Observons que \(\mathbf{M}\) est obtenue de \(\mathbf{I}_3\) en échangeant les lignes 1 et 3.
Si on échange de nouveau les lignes 1 et 3, on obtient de nouveau \(\mathbf{A}.\) On peut vérifier que \(\mathbf{M}\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{A},\) ce qui n’est pas surprenant car un deuxième échange de la même paire de lignes revient à ne pas faire d’échange au départ.
En général, la matrice élémentaire représentant \(L_i \leftrightarrow L_j\) est obtenue en échangeant les lignes correspondantes de \(\mathbf{I}.\)
La multiplication d’une ligne par une constante non nulle.
Supposons que l’on multiplie la seconde ligne de \(\mathbf{A}\) par \(\frac{1}{2}\) (\(L_2 \leftarrow \frac{1}{2}L_2\)). La matrice obtenue est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 1 & 3 & 0 \\-2 & 1 & 0\end{bmatrix}.\) Notons que cette matrice est identique au produit \(\mathbf{M}\mathbf{A}\), où \(\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.\) Observons que \(\mathbf{M}\) est obtenue de \(\mathbf{I}_3\) en multipliant la seconde ligne par \(\frac{1}{2}.\)
Si on multiplie la seconde ligne de la matrice obtenue par 2, on obtient de nouveau \(\mathbf{A}\). On peut vérifier que \(\mathbf{U}\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{A}\), où \(\mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\) ce qui n’est pas surprenant puisque en multipliant par \(2\) une ligne précédemment multipliée par \(\frac{1}{2},\) nous obtenons la ligne originale.
En général, la matrice élémentaire représentant \(L_i \leftarrow \alpha L_i,\) où \(\alpha \neq 0,\) est obtenue par multiplication de la \(i\)-ième ligne de la matrice identité par \(\alpha\).
L’ajout d’un multiple d’une ligne par une constante à une autre ligne
Supposons que la troisième ligne de \(\mathbf{A}\) est remplacée par la somme de produit de la première ligne par 2 et de la troisième ligne (\(L_3 \leftarrow L_3 + 2 L_1\)). La matrice obtenue est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.\) Notons que cette matrice est identique au produit \(\mathbf{M}\mathbf{A}\), où \(\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1\end{bmatrix}.\)
Quelle opération élémentaire sur les lignes renverse cette opération? Nous devons soustraire 2 fois la première ligne de la troisième ligne. En prenant \(\mathbf{U} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1\end{bmatrix},\) on voit que \(\mathbf{U}\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{A}.\)
En général, la matrice élémentaire représentant \(L_j \leftarrow L_j + \alpha L_i\) est obtenue de la matrice identité en additionant \(\alpha\) fois la \(i\)-ième à la \(j\)-ième ligne. Par exemple, la matrice qui représente \(L_2 \leftarrow L_2 + 3L_4\) pour une matrice de cinq lignes est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\). Cette matrice est obtenue de la matrice identité \(5\times 5\) en ajoutant 3 fois la quatrième ligne à la deuxième ligne.
4.4.1 La réduction en tant que série de multiplication de matrices
Nous avons vu à la discussion précédente que chaque opération élémentaire sur les lignes peut être renversée. En langage technique, ceci veut dire que les opérations élémentaires sur les lignes sont inversibles. Cela signifie que l’application des opérations élémentaires sur les lignes d’un système d’équations linéaires n’a pas comme résultat la perte ou le gain de solutions, ce qui justifie l’application des opérations élémentaires à la résolution de système linéaires.
Nous avons aussi vu que la réduction est une série de multiplication à gauche par des matrices élémentaires. En prenant le produit de toutes les matrices élémentaires de la série, on obtient une seule matrice qui capture les actions combinées de cette série. Conséquemment, il existe une matrice \(\mathbf{M}\) telle que la forme échelonnée réduite de \(\mathbf{A}\) est \(\mathbf{M}\mathbf{A}.\) Nous verrons un exemple dans la section suivante.
Exercices
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}\). Trouvez une matrice élémentaire \(\mathbf{M}\) telle que \(\mathbf{M}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}\).
Donnez la matrice \(4\times 4\) qui représente la série suivante d’opérations élémentaires sur les lignes appliquées à un système de quatre équations linéaires : \(L_2 \leftrightarrow L_4\), \(L_1 \leftarrow L_1 + 2L_3\), \(L_1 \leftarrow 2L_1\).
Solutions
\(\mathbf{M} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\).
La matrice est \(\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}.\) Notons que cette matrice peut être obtenue de \(\mathbf{I}_4\) en appliquant directement la série d’opérations élémentaires sur les lignes.