5.4 Propriétés fondamentales

Proposition 5.1 Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{B} \in S^{n\times n}\), \(S\) un anneau. Alors \[\det(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}).\]

La démonstration de cette proposition est technique et nous l’omettons.

Une conséquence immédiate et utile du proposition 5.1 est que \[\det(\mathbf{A}^k) = \det(\mathbf{A})^k\] pour tout entier naturel \(k\).

Exemple 5.5 Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in \mathbb{R}^{3\times 3}\) telles que \(\det(\mathbf{A}) = 3\) et \(\det(\mathbf{B}) = -2\). Alors \(\det(\mathbf{A}\mathbf{\mathbf{B}}) = \det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}) = -6\).

Exemple 5.6 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}\). Alors \(\det(\mathbf{A}^{100}) = \det(\mathbf{A})^{100} = (-1)^{100} = 1.\)

Le déterminant satisfait aussi aux propriétés suivantes :

  • Si \(\mathbf{B}\) est obtenue de \(\mathbf{A}\) en ajoutant un multiple d’une ligne de \(\mathbf{A}\) à une autre ligne de \(\mathbf{A}\), alors \(\det(\mathbf{B}) = \det(\mathbf{A}).\)

  • Si \(\mathbf{B}\) est obtenue de \(\mathbf{A}\) en échangeant deux lignes de \(\mathbf{A}\), alors \(\det(\mathbf{B}) = -\det(\mathbf{A}).\)

  • \(\det(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \det(\mathbf{A}).\)

  • Si \(\mathbf{A}\) est inversible, alors \(\det(\mathbf{A}^{-1}) = {\det(\mathbf{A})}^{-1}.\)

  • Si \(\alpha\) est un scalaire et \(\mathbf{A}\) est de taille \(n \times n\), \(\det(\alpha \mathbf{A}) = \alpha^n\det(\mathbf{A}).\)

Exemple 5.7 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}\). Notons que \(\det(\mathbf{A}) = 3\).

  • \(\det(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \det(\mathbf{A}) = 3.\)

  • Notons que \(\mathbf{A}\) est inversible. Donc, \(\det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} = \frac{1}{3}.\)

  • \(\det(2\mathbf{A}) = 2^2\det(\mathbf{A}) = 4\cdot 3 = 12\) puisque \(\mathbf{A}\) est \(2\times 2\).

  • \(\det(-\mathbf{A}) = \det((-1)\mathbf{A}) = (-1)^2\det(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) = 3\). Notons que dans ce cas, \(\det(-\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A})\).

Proposition 5.2 Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Alors \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\) si et seulement si \(\mathbf{A}\) est non singulière.

Démonstration. Soit \(\mathbf{R}\) la FER de \(\mathbf{A}\). Alors il existe des matrices élémentaires \(\mathbf{M}^{(1)},\ldots,\mathbf{M}^{(k)}\) telles que \(\mathbf{M}^{(k)} \mathbf{M}^{(k-1)} \cdots \mathbf{M}^{(1)} \mathbf{A} = \mathbf{R}\). Mais \[\det(\mathbf{M}^{(k)}) \det(\mathbf{M}^{(k-1)}) \cdots \det(\mathbf{M}^{(1)}) \det(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{R}).\]

Puisque \(\mathbf{R}\) est une matrice carrée, \(\mathbf{A}\) est non singulière si et seulement si \(\mathbf{R}\) ne contient pas de ligne nulle. Si \(\mathbf{R}\) contient une telle ligne, alors \(\det(\mathbf{R}) = 0\). Sinon, \(\mathbf{R}=\mathbf{I}\) dont le déterminant est 1.

Corollaire 5.1 Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Alors \(\det(\mathbf{A}) \neq 0\) si et seulement si \(\mathbf{A}\) est inversible.

Exercices

  1. Démontrez que si \(\mathbf{A}\) est inversible, alors \(\displaystyle\det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}.\)

  2. Démontrez que si \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^4\), alors \(\det(-\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}).\)

Solutions

  1. Notons que, dans ce cas, \[\begin{align*} \det(\mathbf{A}^{-1})\det(\mathbf{A}) & = \det(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}) \\ & = \det(\mathbf{I}) = 1, \end{align*}\] d’où \(\displaystyle\det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}.\)

  2. \(\det(-\mathbf{A}) = \det((-1)\mathbf{A}) = (-1)^4\det(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}).\)