4.7 Matrices inverses

Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{M}, \mathbf{N} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Si \(\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{I}_n\), alors \(\mathbf{M}\) est un inverse à gauche de \(\mathbf{A}\). Si \(\mathbf{A}\mathbf{N}= \mathbf{I}_n\), alors \(\mathbf{N}\) est un inverse à droite de \(\mathbf{A}\).

Nous devons spécifier la gauche et la droite puisque la multiplication de matrices n’est pas nécessairement commutative, c’est-à-dire qu’il existe matrices \(\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{K}^{n\times n}\) pour lesquelles \(\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}\). A priori, il est fort possible que \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}_n\) mais que \(\mathbf{B}\mathbf{A} \neq \mathbf{I}_n.\)

Ceci étant dit, les inverses à gauche sont aussi des inverses à droite et vice versa.

Proposition 4.2 Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{N} \in \mathbb{K}^{n\times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Si \(\mathbf{N}\mathbf{A} = \mathbf{I}\), alors \(\mathbf{A}\mathbf{N} = \mathbf{I}\).

Avant d’en voir la preuve, notons que l’énoncé précédant montre aussi qu’un inverse de droite est aussi un inverse à gauche puisque l’on peut considérer \(\mathbf{A}\) comme l’inverse à droite de \(\mathbf{N}\) (car \(\mathbf{N}\mathbf{A} = \mathbf{I}\)) et la conclusion indique que \(\mathbf{A}\) est un inverse à gauche de \(\mathbf{N}\) (car \(\mathbf{A}\mathbf{N} = \mathbf{I}\)).

Démonstration. (Proposition 4.2) On montre que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{y}\) a une solutions pour tout \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n\).

Ce n’est pas le cas si \(\mathbf{A}\) n’a pas d’inverse à gauche. Nous en remettons la démonstration à la fin de la preuve. D’ici là, nous utilisons le résultat comme s’il étant déjà démontré.

Soit \(\mathbf{y}\) un élément arbitraire de \(\mathbb{K}^n.\) D’après notre supposition, il existe \(\mathbf{x}' \in \mathbb{K}^n\) tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x}' = \mathbf{y}\). La multiplication à gauche par \(\mathbf{N}\) donne \(\mathbf{N}(\mathbf{A}\mathbf{x}') = \mathbf{N}\mathbf{y}\), d’où \((\mathbf{N}\mathbf{A})\mathbf{x}' = \mathbf{N}\mathbf{y}.\) Puisque \(\mathbf{N}\mathbf{A} = \mathbf{I}\), nous devons avoir \(\mathbf{x}' = \mathbf{N}\mathbf{y}\).

Ainsi, \(\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x}' = \mathbf{A}(\mathbf{N}\mathbf{y}) = (\mathbf{A}\mathbf{N})\mathbf{y}\). Puisque \(\mathbf{y}\) est arbitraire, il s’ensuit que \(\mathbf{D} = \mathbf{I}\).

Démontrons maintenant la supposition. S’il existe \(\mathbf{y}' \in \mathbb{K}^n\) tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{y}'\) n’admet aucune solution, la FER \(\begin{bmatrix}\mathbf{R} & \mathbf{d}\end{bmatrix}\) de \(\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{y}'\end{bmatrix}\) contient une ligne qui ne contient que des valeurs nulles, sauf à la dernière colonne. Puisque \(\mathbf{R}\) est une matrice carré, il y a alors (au moins) une colonne de \(\mathbf{R}\) qui n’est pas une colonne pivot. Ainsi, il existe au moins une variable libre, ce qui implique l’existence d’un \(\tilde{\mathbf{x}} \in \mathbb{K}^n\) non nul satisfaisant à \(\mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{0}.\)

Mais \[\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{I} \tilde{\mathbf{x}} = (\mathbf{N}\mathbf{A})\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{N}(\mathbf{A}\tilde{\mathbf{x}}) = \mathbf{N} \mathbf{0} = \mathbf{0},\] ce qui contredit que \(\tilde{\mathbf{x}}\) est non nul! L’hypothèse de l’existence d’un \(\mathbf{y}' \in \mathbb{K}^n\) tel que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{y}'\) n’admet aucune solution est donc fausse.

Proposition 4.3 Soient \(\mathbf{M},\mathbf{N},\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{n\times n}.\) Si \(\mathbf{M}\mathbf{A} = \mathbf{I}\) et \(\mathbf{A}\mathbf{N} = \mathbf{I}\), alors \(\mathbf{M} = \mathbf{N}\).

Autrement dit, si \(\mathbf{M}\) et \(\mathbf{N}\) sont des inverses à gauche et à droite d’une matrice carré \(\mathbf{A}\), alors \(\mathbf{M}\) et \(\mathbf{N}\) doivent être la même matrice. La preuve est laissée en exercice.

Si \(\mathbf{B}\) est une matrice telle que \(\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}\), alors \(\mathbf{B}\) est la matrice inverse de \(\mathbf{A}\). Si une matrice carré \(\mathbf{A}\) a un inverse, \(\mathbf{A}\) est dite inversible.

Il n’est pas difficile de montrer que si \(\mathbf{A}\) est inversible, alors son inverse est unique; on le dénote par \(\mathbf{A}^{-1}\).

Exemple 4.8 Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\). Nous pouvons aisément vérifier que \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\) d’où \(\mathbf{B}\) est la matrice inverse de \(\mathbf{A}\) (et vice versa).

Exercices

1. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}\). Supposons que \(ad - bc \neq 0\). Vérifiez que \(\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\).

2. Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{N} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\). Calculez les produits \(\mathbf{N}\mathbf{A}\) et \(\mathbf{A}\mathbf{N}\). Est-ce que les réponses contredisent la proposition 4.2? Si non, pourquoi?

3. Démontrez la proposition 4.3.

Solutions

1. Notons que \[\begin{align*} \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} & = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} da-bc & db-bd \\ -ca+ac & -cb+ad\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \end{align*}\] Il s’ensuit des proposition 4.2 et proposition 4.3 que \(\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}\) est l’inverse de \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}.\)

2. \(\mathbf{N}\mathbf{A} = \mathbf{I}_2\) et \(\mathbf{A}\mathbf{N} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.\) Les réponses ne contredisent pas la proposition 4.2 car la proposition ne s’applique qu’aux matrices carrées.

3. La multiplication à la droite de chaque côté de \(\mathbf{M}\mathbf{A}=\mathbf{I}\) par \(\mathbf{N}\) donne \((\mathbf{M}\mathbf{A})\mathbf{N} = \mathbf{N}\). Mais \[(\mathbf{M}\mathbf{A})\mathbf{N} = \mathbf{M}(\mathbf{A}\mathbf{N}) = \mathbf{M}\mathbf{I} = \mathbf{M}.\] Ainsi, \(\mathbf{M} = \mathbf{N}\).