6.3 Espaces vectoriels communément rencontrés

Soit \(\mathbb{K}\) un corps et \(n\) un entier positif. Alors \(\mathbb{K}^n\) est un espace vectoriel à scalaires dans \(\mathbb{K}\), avec l’addition de \(n\)-uplets et la multiplication par un scalaire.

\(\mathbb{K}^n\) est probablement l’espace vectoriel le plus communément étudié, particulièrement lorsque \(\mathbb{K}= \mathbb{R}\) et \(n \leq 3\). Par exemple, on parle souvent du plan \(\mathbb{R}^2\) et de l’espace \(\mathbb{R}^3\) par un espace en 3 dimensions.

Le vecteur nul de \(\mathbb{K}^n\) est le \(n\)-uplet dont les composantes sont nulles.

Plus généralement, \((\mathbb{K}^{m \times n}, \mathbb{K})\) est un espace vectoriel avec l’addition matricielle et la multiplication par un scalaire. Le vecteur nul de \(\mathbb{K}^{m \times n}\) est la matrice de taille \(m\times n\) dont tous les éléments sont nuls.

L’ensemble des polynômes en \(x\) à coefficients dans le corps \(\mathbb{K}\) est un espace vectoriel avec l’addition des polynômes et la multiplication d’un polynôme par un scalaire. Le vecteur nul est le polynôme zéro, c’est-à-dire celui dont tous les coefficients sont nuls.

Le degré des polynômes peut être restreint ou non restreint. Par exemple, nous pouvons considérer l’espace vectoriel des polynômes en \(x\) de degré au plus à coefficients réels. Dans un tel espace vectoriel, tous les vecteurs peuvent s’écrire sous la forme \(ax^2 + bx + c\), où \(a,b,c\in \mathbb{R}.\)

Exercice

1. Montrez que \(\mathbb{C}\) est un espace vectoriel à scalaire dans \(\mathbb{R}\), où l’addition de vecteurs \(u, v \in \mathbb{C}\) est donné par l’addition habituelle des nombres complexes et la multiplication par un scalaire est la multiplication habituelle d’un complexe par un réel.

Solution

1. Notons que chaque nombre complexe peut s’écrire sous la forme \(a + bi\), pour \(a, b \in \mathbb{R}.\) Pour tout nombre réel \(\lambda,\) \(\lambda(a+bi) = \lambda a + \lambda b i,\) qui est de la forme désirée. Il est maintenant facile de vérifier que toutes les propriétés d’un espace vectoriel sont satisfaites en prenant \(0+0i\) comme le vecteur nul et \((-a)+(-b)i\) comme opposé de \(a+bi\), pour tout \(a,b \in \mathbb{R}.\)