2.6 Formule d’Euler

L’identité d’Euler est une identité remarquable : \[e^{i\pi} + 1 = 0.\] Cette identité est un cas spécial d’un résultat plus général :

Théorème 2.2 (Formule d’Euler) Pour chaque \(x \in \mathbb{R},\) \[e^{ix} = \cos x + i\sin x.\]

Notons que l’identité d’Euler s’obtient en substituant \(x = \pi\).

La formule d’Euler fût établie par le mathématicien suisse Leonhard Euler en utilisant l’expansion en série de puissance de \(e^z\), \(\cos z\) et \(\sin z\) : \[\begin{align*} e^z & = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots \\ \cos z & = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -\frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ \sin z & = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} -\frac{z^7}{7!} + \cdots \end{align*}\] En utilisant l’analyse complexe, un sujet qui ne fait pas partie du présent ouvrage, il est possible de montrer que ces séries convergent absolument pour tout \(z \in \mathbb{C}.\) La formule d’Euler suit en prenant \(z = ix.\)

La formule d’Euler nous permet de représenter un nombre complexe sous forme exponentielle \(re^{i\theta}\) puisque \(re^{i\theta} = r\operatorname{cis}\left({\theta}\right).\) La forme exponentielle facilite la mémorisation de la formule de Moivre puisque qu’elle correspond à la loi des exposants : \[(re^{i\theta})^n = r^n(\operatorname{cis}\left({\theta}\right))^n = r^n\operatorname{cis}\left({n\theta}\right) = r^ne^{in\theta}.\]

Exercices

  1. Lequel des nombres suivants est \((e^i)^2\)?

    1. \(e^2\)

    2. \(e^{-1}\)

    3. \(e^{2i}\)

  2. Complétez les détails de la preuve de la formule d’Euler en supposant la convergence absolue des séries.

Solutions

  1. La réponse est \(e^{2i}\).

  2. Notons que \[\begin{align*} e^{iz} & = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \cdots \\ & = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - i\frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i\frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - i\frac{z^7}{7!} \cdots \\ & = \left(1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} -\frac{z^6}{6!}+\cdots\right) + i\left(z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ & = \cos z + i \sin z. \end{align*}\]