6.4 Sous-espaces

Soient \((V,\mathbb{K})\) et \((W, \mathbb{K})\) des espaces vectorielles tels que

  • l’ensemble des vecteurs de \(W\) est contenu dans l’ensemble des vecteurs de \(V\),

  • \(V\) et \(W\) partagent la même addition et la même multiplication par un scalaire.

Alors \(W\) est un sous-espace de \(V\). De plus, si \(W \neq V\), alors \(W\) est un sous-espace propre de \(V.\)

Exemple 6.1 Soit \(\mathbf{A}\in \mathbb{K}^{m \times n}\), où \(\mathbb{K}\) est un corps. Le noyau de \(\mathbf{A}\) est un sous-espace de \(\mathbb{K}^n\). (Rappellons que le noyau de \(\mathbf{A}\) est \(\{\mathbf{x} \in \mathbb{K}^n \,:\,\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\}.\))

6.4.1 Test du sous-espace

Soient \(V\) un espace vecteur vectoriel et \(W\) un ensemble de vecteurs de \(V\). Comment détermine-t-on si \(W\) est un sous-espace de \(V\)?

Le fait que \(W\) soit un sous-ensemble de \(V\) ne le rend pas automatiquement un sous-espace de \(V\). Par exemple, si \(W\) ne contient pas le vecteur nul, alors ce n’est pas un espace vectoriel, et donc pas un sous-espace vectoriel.

Bien sûr, on peut vérifier si \(W\) est un espace vectoriel en vérifiant les propriétés d’un espace vectoriel une par une. Mais il y a un raccourci: il suffit de vérifier que \(W\) est fermé par rapport à l’addition de vecteurs et à la multiplication par un scalaire tels que défini pour \(V\).

Exemple 6.2 Soit \(W =\left\{\begin{bmatrix} a\\b\end{bmatrix} \,:\,a, b \in \mathbb{Z}\right\}.\) Il va de soit que \(W \subseteq \mathbb{R}^2.\) Cependant, \(W\) n’est pas un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) car il n’est pas fermé par rapport à la multiplication par un scalaire. En effet, soit \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) un nombre réel. Alors \(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \in W\) mais \(\alpha \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha\\0\end{bmatrix}\notin W\) puisque \(\alpha \notin \mathbb{Z}.\)

Exemple 6.3 Est-ce que \(U = \left\{ \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \,:\,\begin{array}{rl} x + y = 0\\ x-y = 1\end{array}\right\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\)?

Notons que si c’est le cas, \(U\) doit contenir le vecteur nul \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)

Cependant, \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}\) n’est pas une solution du système \[\begin{align*} x + y & = 0\\ x-y & = 1, \end{align*}\] d’où \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \notin U,\) ce qui implique que \(U\) n’est pas un sous-espace de \(\mathbb{R}^{2}\).

Exercices

  1. Donnez un exemple d’un sous-espace propre de \(P_2(\mathbb{R})\).

  2. Soit \(W = \left \{ \begin{bmatrix} a & b \\ b & 0 \end{bmatrix} \,:\,a,b \in \mathbb{R}\right\}.\) Montrez que \(W\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^{2\times 2}.\)

Solutions

  1. Soit \(W = \{ ax^2 \,:\,a \in \mathbb{R}\}\). Alors si \(u = ax^2\) et \(v = a'x^2\), où \(a, a' \in \mathbb{R}\), alors \(u,v \in W\). De plus, \(u + v = (a+a') x^2 \in W\).

    Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \(\lambda u = (\lambda a)x^2 \in W\). Ainsi, \(W\) est un sous-espace de \(P_2(\mathbb{R})\). Mais \(W \neq P_2(\mathbb{R})\) puisque \(x \in P_2(\mathbb{R})\) et \(x \notin W\). On conclut que \(W\) est un sous-espace propre de \(P_2(\mathbb{R})\).

  2. Nous montrons d’abord que \(W\) est fermé par rapport à l’addition de vecteurs (qui est simplement l’addition de matrices) et à la multiplication par un scalaire.

    Soient \(\mathbf{A},\mathbf{B} \in W.\) Alors il existe \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) tels que \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & 0 \end{bmatrix}\] et \[\mathbf{B} = \begin{bmatrix} c & d \\ d & 0 \end{bmatrix}.\] Notons que \[\mathbf{A}+\mathbf{B} = \begin{bmatrix} (a+c) & (b+d) \\ (b+d) & 0 \end{bmatrix},\] qui réside dans \(W.\) Si \(\lambda \in \mathbb{R},\) alors \[\lambda \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda b & 0 \end{bmatrix},\] qui se retrouve aussi dans \(W.\)