6.4 Sous-espaces
Soient \((V,\mathbb{K})\) et \((W, \mathbb{K})\) des espaces vectorielles tels que
l’ensemble des vecteurs de \(W\) est contenu dans l’ensemble des vecteurs de \(V\),
\(V\) et \(W\) partagent la même addition et la même multiplication par un scalaire.
Alors \(W\) est un sous-espace de \(V\). De plus, si \(W \neq V\), alors \(W\) est un sous-espace propre de \(V.\)
Exemple 6.1 Soit \(\mathbf{A}\in \mathbb{K}^{m \times n}\), où \(\mathbb{K}\) est un corps. Le noyau de \(\mathbf{A}\) est un sous-espace de \(\mathbb{K}^n\). (Rappellons que le noyau de \(\mathbf{A}\) est \(\{\mathbf{x} \in \mathbb{K}^n \,:\,\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\}.\))
6.4.1 Test du sous-espace
Soient \(V\) un espace vecteur vectoriel et \(W\) un ensemble de vecteurs de \(V\). Comment détermine-t-on si \(W\) est un sous-espace de \(V\)?
Le fait que \(W\) soit un sous-ensemble de \(V\) ne le rend pas automatiquement un sous-espace de \(V\). Par exemple, si \(W\) ne contient pas le vecteur nul, alors ce n’est pas un espace vectoriel, et donc pas un sous-espace vectoriel.
Bien sûr, on peut vérifier si \(W\) est un espace vectoriel en vérifiant les propriétés d’un espace vectoriel une par une. Mais il y a un raccourci: il suffit de vérifier que \(W\) est fermé par rapport à l’addition de vecteurs et à la multiplication par un scalaire tels que défini pour \(V\).
Exemple 6.2 Soit \(W =\left\{\begin{bmatrix} a\\b\end{bmatrix} \,:\,a, b \in \mathbb{Z}\right\}.\) Il va de soit que \(W \subseteq \mathbb{R}^2.\) Cependant, \(W\) n’est pas un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\) car il n’est pas fermé par rapport à la multiplication par un scalaire. En effet, soit \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) un nombre réel. Alors \(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \in W\) mais \(\alpha \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha\\0\end{bmatrix}\notin W\) puisque \(\alpha \notin \mathbb{Z}.\)
Exemple 6.3 Est-ce que \(U = \left\{ \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \,:\,\begin{array}{rl} x + y = 0\\ x-y = 1\end{array}\right\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\)?
Notons que si c’est le cas, \(U\) doit contenir le vecteur nul \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)
Cependant, \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}\) n’est pas une solution du système \[\begin{align*} x + y & = 0\\ x-y & = 1, \end{align*}\] d’où \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \notin U,\) ce qui implique que \(U\) n’est pas un sous-espace de \(\mathbb{R}^{2}\).
Exercices
Donnez un exemple d’un sous-espace propre de \(P_2(\mathbb{R})\).
Soit \(W = \left \{ \begin{bmatrix} a & b \\ b & 0 \end{bmatrix} \,:\,a,b \in \mathbb{R}\right\}.\) Montrez que \(W\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^{2\times 2}.\)
Solutions
Soit \(W = \{ ax^2 \,:\,a \in \mathbb{R}\}\). Alors si \(u = ax^2\) et \(v = a'x^2\), où \(a, a' \in \mathbb{R}\), alors \(u,v \in W\). De plus, \(u + v = (a+a') x^2 \in W\).
Si \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \(\lambda u = (\lambda a)x^2 \in W\). Ainsi, \(W\) est un sous-espace de \(P_2(\mathbb{R})\). Mais \(W \neq P_2(\mathbb{R})\) puisque \(x \in P_2(\mathbb{R})\) et \(x \notin W\). On conclut que \(W\) est un sous-espace propre de \(P_2(\mathbb{R})\).
Nous montrons d’abord que \(W\) est fermé par rapport à l’addition de vecteurs (qui est simplement l’addition de matrices) et à la multiplication par un scalaire.
Soient \(\mathbf{A},\mathbf{B} \in W.\) Alors il existe \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) tels que \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & 0 \end{bmatrix}\] et \[\mathbf{B} = \begin{bmatrix} c & d \\ d & 0 \end{bmatrix}.\] Notons que \[\mathbf{A}+\mathbf{B} = \begin{bmatrix} (a+c) & (b+d) \\ (b+d) & 0 \end{bmatrix},\] qui réside dans \(W.\) Si \(\lambda \in \mathbb{R},\) alors \[\lambda \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda b & 0 \end{bmatrix},\] qui se retrouve aussi dans \(W.\)