9.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Quel est l’angle entre les vecteurs $\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}$ et $\begin{bmatrix} -1 \\ 1\end{bmatrix}$ dans $\mathbb{R}^2$? Donnez la réponse en radians, arrondie à 4 places après la virgule.

2. Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2\times 2}$ une matrice symétrique. Montrez qu’il existe $\gamma \in \mathbb{R}$ tel que $\mathbf{A} + \gamma \mathbf{I}_n$ est semi-définie positive.

3. Soit $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1-2i \\ i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2$ Déterminez tous les $\mathbf{w} \in \mathbb{C}^2$ orthogonaux à $\mathbf{u}$ par rapport au produit scalaire usuel.

4. La trace d’une matrice carrée $\mathbf{A},$ dénotée par $\operatorname{tr}(\mathbf{A}),$ est la somme des éléments sur sa diagonale. Montrez que l’application $\langle {\cdot},{\cdot} \rangle:\mathbb{R}^{m\times n}\times \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $$\langle {\mathbf{A}},{\mathbf{B}} \rangle = \operatorname{tr}(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A})$$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{m\times n}.$