9.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Quel est l’angle entre les vecteurs \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1\end{bmatrix}\) dans \(\mathbb{R}^2\)? Donnez la réponse en radians, arrondie à 4 places après la virgule.
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\) une matrice symétrique. Montrez qu’il existe \(\gamma \in \mathbb{R}\) tel que \(\mathbf{A} + \gamma \mathbf{I}_n\) est semi-définie positive.
Soit \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1-2i \\ i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2\) Déterminez tous les \(\mathbf{w} \in \mathbb{C}^2\) orthogonaux à \(\mathbf{u}\) par rapport au produit scalaire usuel.
La trace d’une matrice carrée \(\mathbf{A},\) dénotée par \(\operatorname{tr}(\mathbf{A}),\) est la somme des éléments sur sa diagonale. Montrez que l’application \(\langle {\cdot},{\cdot} \rangle:\mathbb{R}^{m\times n}\times \mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par \[\langle {\mathbf{A}},{\mathbf{B}} \rangle = \operatorname{tr}(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A})\] est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^{m\times n}.\)