6.11 Espace des colonnes et espace des lignes

Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}\), où \(\mathbb{K}\) est un corps. Nous avons vu que \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), le noyau de \(\mathbf{A}\), est défini par \(\{\mathbf{x} \in \mathbb{K}^n \,:\,\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\}\). Nous allons maintenant discuter de deux autres espaces vectoriels associés à \(\mathbf{A}\).

L’espace des colonnes de \(\mathbf{A}\), dénoté par \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\), est l’espace engendré par les colonnes de \(\mathbf{A}\), c’est-à-dire que l’on traite les colonnes de \(\mathbf{A}\) comme des vecteurs de \(\mathbb{K}^m\) et que l’on considère toutes les combinaisons linéaires possibles des ces vecteurs. Ainsi, \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\) est un sous-espace de \(\mathbb{K}^m\).

Exemple 6.18 Considérons la matrice réelle \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 3\end{bmatrix}\). L’espace des colonnes de \(\mathbf{A}\) contient tous les vecteurs de la forme \(\alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \\ -1\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}\) où \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\). En réécrivant \(\alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \\ -1\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 2 \\ 3\end{bmatrix}\) sous la forme \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma\end{bmatrix},\) on obtient \[{\operatorname{Col}({\mathbf{A}})} = \left \{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma\end{bmatrix} \,:\, \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R} \right \}.\] Conséquemment, \(\begin{bmatrix} a \\b\end{bmatrix}\) appartient à \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\) si et seulement si le système \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\b\end{bmatrix}\) admet a une solution en \(\alpha,\beta,\gamma\).

L’espace des lignes de \(\mathbf{A}\), dénoté par \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\), s’obtient à partir de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}^\mathsf{T}})}\). Ainsi, \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\) est un sous-espace de \(\mathbb{K}^n\).

6.11.1 Bases de l’espace des colonnes et de l’espace des lignes

Nous allons voir comment obtenir une base de l’espace des lignes et une base de l’espace des colonnes. Considérons d’abord le cas où la matrice est sous forme échelonnée réduite.

6.11.1.1 Matrice sous forme échelonnée réduite

Considérons \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 &0\end{bmatrix}\). Supposons que l’on cherche une base de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\).

Puisque \(\mathbf{A}^\mathsf{T}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\-2 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix}\), l’espace engendré par les deux premières colonnes est identique à
l’espace des colonnes de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) (la troisième colonne, dont tous les éléments sont nuls ne contribue aucunement aux combinaisons linéaires).

Notons que chacune des deux première colonnes est nécessaire à la construction de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}^\mathsf{T}})}\) puisqu’elles sont linéairement indépendantes. Ainsi, les deux premières colonnes de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) forment une base de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\).

Trouvons maintenant une base pour \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\). Notons que \(\mathbf{A}_2\), la deuxième colonne de \(\mathbf{A}\), est un multiple de \(\mathbf{A}_1\). De plus, \(\mathbf{A}_4 = -\mathbf{A}_1 + \mathbf{A}_3.\) Ainsi, l’espace engendré par \(\{\mathbf{A}_1,\mathbf{A}_3\}\) correspond à \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\). De plus, \(\{\mathbf{A}_1,\mathbf{A}_3\}\) est un ensemble linéairement indépendant. C’est donc une base de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\).

Pour une matrice \(\mathbf{A}\) sous forme échelonnée réduite, les colonnes non nulles de \(\mathbf{A}^\mathsf{T}\) forment une base de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\) et les colonnes pivot de \(\mathbf{A}\) forment une base de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\).

6.11.1.2 Matrice générale

On se sert du résultat suivant.

Proposition 6.4 Si \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) sont des matrices telles que \(\mathbf{B}\) peut être obtenue de \(\mathbf{A}\) à l’aide d’une suite d’opérations élémentaires sur les lignes, alors \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})} = {\operatorname{Lgn}({\mathbf{B}})}\).

On laisse la démonstration en exercice.

Pour une matrice donnée \(\mathbf{A}\), on calcule d’abord sa forme échelonnée réduite \(\mathbf{R}\) (en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes). Une base de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{R}})}\) est alors une base de \({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}\).

Les opérations élémentaires sur les lignes affectent l’espace des colonnes, cependant. Mais nous pouvons tout de même utiliser la réduction de \(\mathbf{A}\) afin de nous aider à trouver une base de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}.\)

Proposition 6.5 Si \(\mathbf{R}\) est la forme échelonnée réduite de \(\mathbf{A}\), les colonnes de \(\mathbf{A}\) correspondant aux colonnes pivots de \(\mathbf{R}\) forment une base de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\).

Exemple 6.19 Considérons la matrice réelle \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}\) de forme échelonnée réduite de \(\mathbf{A}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\). Puisque \(\mathbf{A}_1\) et \(\mathbf{A}_2\) sont les colonnes pivots de \(\mathbf{A}\), elle forment une base de \({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}\). De plus, \(\mathbf{A}_3 = \mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2\) et \(\mathbf{A}_4 = \mathbf{A}_1\).

Exercices

1. Pour chacune des matrices réelles suivantes, trouvez une base du noyau, une base de l’espace des lignes et une base de l’espace des colonnes.

   1. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ \end{bmatrix}\)

   2. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

Solutions

1. 1. \(\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right \}\) est une base possible base du noyau;

      \(\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right \}\) est une base de l’espace des lignes.

      \(\left\{ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \right \}\) est une base de l’espace des colonnes.

   2. Notons que la FER de la matrice est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\).

      \(\left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right \}\) est une base possible du noyau.

      \(\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right \}\) est une base possible de l’espace des lignes.

      \(\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right \}\) est une base possible de l’espace des colonnes.