3.9 Décrire les ensembles solutions

3.9.1 Motivation

Considérons le système Ax=b réel donné par A=[1200−10010200013], x=[x1x2x3x4x5], et b=[456]. Notons que A est sous forme échelonnée réduite et que toutes ses lignes contiennent au moins deux éléments non nuls. Le système admet donc au moins une solution. Puisqu’il y a deux variables libres x2 et x5, le système admet en fait une infinité de solutions. Comment peut-on les décrire?

On doit exprimer chaque variable libre à l’aide d’un paramètre. Dans notre cas, nous avons x2=s et x5=t, d’où x1+2s−t=4x3+2t=5x4+3t=6. En résolvant pour x1, x3 et x4, on obtient x1=4−2s+t, x3=5−2t, x4=6−3t.

Les solutions sont alors [x1x2x3x4x5]=[4−2s+ts5−2t6−3tt]=[40560]+s[−21000]+t[10−2−31], où s et t sont des nombres arbitraires.

Considérons maintenant le système définit sur GF(2). x1+x3=1x2+x3=0 Ici, x3 est une variable libre. On peut pose alors x3 comme paramètre et on exprime x1 et x2 en terme de x3 : x1=1+x3x2=x3.

Il n’y a que deux choix possible: x3=0 ou x3=1.

En prenant x3=0, on obtient la solution [x1x2x3]=[100].

En prenant x3=1, on obtient la solution [x1x2x3]=[011].

3.9.2 Systèmes homogènes

Considérons le système Ax=b définit sur les réels, où A=[120−103001−104000015] et b=[678]. Notons que, dans ce cas, x=[x1x2x3x4x5x6].

La matrice augmentée associée à ce système est [120−1036001−10470000158], qui est déjà sous forme échelonnée réduite. Les les colonnes 1, 3 et 5 sont les colonnes pivots; Les variables libres sont x2, x4 et x6.

En posant x2=s, x4=t et x6=u, on obtient la solution [x1x2x3x4x5x6]=[6−2s+t−3us7+t−4ut8−5uu]=[607080]+s [−210000]+t [101100]+u [−30−40−51] peu importe le choix de s, t et u.

Notons que chacun des uplets [−210000], [101100] et [−30−40−51] est une solution du système homogène Ax=0. Un système homogène d’équations linéaires est un système Ax=b tel que b=0.

En général, les solutions de Ax=0 nous informent au sujet des solutions de Ax=b. Supposons que x∗ et x′ soient des solutions de Ax=b, c’est-à-dire, Ax∗=b et Ax′=b. Alors A(x∗−x′)=b−b=0. Du coup, si ˜x=x∗−x′, alors ˜x est une solution de Ax=0.

Conséquemment, une fois que nous connaissons une solution de Ax=b, disons x∗, chaque autre solution diffère de x∗ par une solution de Ax=0. Autrement dit, l’ensemble des solutions de Ax=b est donné par {x∗+d:Ad=0}. La solution x∗ est une solution particulière du système.

En bref, connaître une solution particulière de Ax=b et toutes les solutions de Ax=0 nous permet de connaître toutes les solutions de Ax=b.

Finalement, notons que Ax=0 admet toujours la solution triviale (l’uplet composé entièrement de 0). Tout autre solution de Ax=0 est une solution non triviale.

Exercices

  1. Pour chacun des systèmes suivants, donnez une description de l’ensemble-solution.

    1. x−y+z=1y−2z=2

    2. 3x−4y+z=12

    3. x1−x3+x4=0x2−2x4=0

  2. Soit A=[12−10−13112]. Est-ce que le système homogène Ax=0 admet une solution non triviale?

  3. Soit A∈Km×n, où K est un corps. Soit Ker(A)={d∈K:Ad=0}. Soit x∗,x′∈Kn.

    1. Montrez que A(x∗−x′)=Ax∗−Ax′.

    2. Soit z=x∗+x′. Montrez que si x∗,x′∈Ker(A), alors z∈Ker(A).

    3. Soit α∈K. Soit u=αx∗. Montrez que si x∗∈Ker(A), alors u∈Ker(A).

Solutions

    1. [xyz]=[32 0]+s[12 1], où s est un réel arbitraire.

    2. [xyz]=[40 0]+s[431 0]+t[−130 1], où s et t sont des réels arbitraires.

    3. [x1x2x3x4]=s[101 0]+t[−120 1], où s et t sont des réels arbitraire.

  2. Oui. Par exemple, [−531] est une solution non triviale du système homogène.