3.9 Décrire les ensembles solutions

3.9.1 Motivation

Considérons le système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) réel donné par \(\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix}\), et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4\\5\\6\end{bmatrix}\). Notons que \(\mathbf{A}\) est sous forme échelonnée réduite et que toutes ses lignes contiennent au moins deux éléments non nuls. Le système admet donc au moins une solution. Puisqu’il y a deux variables libres \(x_2\) et \(x_5\), le système admet en fait une infinité de solutions. Comment peut-on les décrire?

On doit exprimer chaque variable libre à l’aide d’un paramètre. Dans notre cas, nous avons \(x_2 = s\) et \(x_5 = t\), d’où \[\begin{align*} x_1 + 2s - t & = 4 \\ x_3 + 2t & = 5 \\ x_4 + 3t & = 6. \end{align*}\] En résolvant pour \(x_1\), \(x_3\) et \(x_4\), on obtient \(x_1 = 4 - 2s + t\), \(x_3 = 5-2t\), \(x_4 = 6 - 3t\).

Les solutions sont alors \(\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2s+t\\s\\5-2t\\6-3t\\t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\0\\5\\6\\0\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix} -2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix} 1\\0\\-2\\-3\\1\end{bmatrix}\), où \(s\) et \(t\) sont des nombres arbitraires.

Considérons maintenant le système définit sur \(GF(2)\). \[\begin{align*} x_1 + x_3 & = 1 \\ x_2 + x_3 & = 0 \\ \end{align*}\] Ici, \(x_3\) est une variable libre. On peut pose alors \(x_3\) comme paramètre et on exprime \(x_1\) et \(x_2\) en terme de \(x_3\) : \[\begin{align*} x_1 & = 1 + x_3 \\ x_2 & = x_3. \end{align*}\]

Il n’y a que deux choix possible: \(x_3 = 0\) ou \(x_3 = 1.\)

En prenant \(x_3 = 0\), on obtient la solution \(\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix}\).

En prenant \(x_3 = 1\), on obtient la solution \(\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix}\).

3.9.2 Systèmes homogènes

Considérons le système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) définit sur les réels, où \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 6\\7\\8\end{bmatrix}\). Notons que, dans ce cas, \(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6\end{bmatrix}\).

La matrice augmentée associée à ce système est \(\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 \end{array}\right],\) qui est déjà sous forme échelonnée réduite. Les les colonnes 1, 3 et 5 sont les colonnes pivots; Les variables libres sont \(x_2\), \(x_4\) et \(x_6\).

En posant \(x_2 = s\), \(x_4 = t\) et \(x_6 = u\), on obtient la solution \[\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-2s+t-3u\\ s\\ 7+t- 4u\\ t\\ 8-5u\\ u\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 6\\0\\ 7\\ 0\\ 8\\ 0\end{bmatrix}+ s~\begin{bmatrix} -2\\1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+ t~\begin{bmatrix} 1\\0\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}+ u~\begin{bmatrix} -3\\0\\ -4\\ 0\\ -5\\ 1\end{bmatrix}\] peu importe le choix de \(s\), \(t\) et \(u\).

Notons que chacun des uplets \(\begin{bmatrix} -2\\1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1\\0\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} -3\\0\\ -4\\ 0\\ -5\\ 1\end{bmatrix}\) est une solution du système homogène \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\). Un système homogène d’équations linéaires est un système \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) tel que \(\mathbf{b} = \mathbf{0}.\)

En général, les solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}\) nous informent au sujet des solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\). Supposons que \(x^*\) et \(x'\) soient des solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), c’est-à-dire, \(\mathbf{A}\mathbf{x}^* = \mathbf{b}\) et \(\mathbf{A}\mathbf{x}' = \mathbf{b}\). Alors \(A(\mathbf{x}^* - \mathbf{x}') = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}\). Du coup, si \(\tilde{\mathbf{x}} = \mathbf{x}^* - \mathbf{x}'\), alors \(\tilde{\mathbf{x}}\) est une solution de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\).

Conséquemment, une fois que nous connaissons une solution de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\), disons \(\mathbf{x}^*\), chaque autre solution diffère de \(\mathbf{x}^*\) par une solution de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\). Autrement dit, l’ensemble des solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) est donné par \(\{ \mathbf{x}^* + \mathbf{d} \,:\,\mathbf{A}\mathbf{d} = \mathbf{0}\}\). La solution \(\mathbf{x}^*\) est une solution particulière du système.

En bref, connaître une solution particulière de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\) et toutes les solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) nous permet de connaître toutes les solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}\).

Finalement, notons que \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) admet toujours la solution triviale (l’uplet composé entièrement de 0). Tout autre solution de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) est une solution non triviale.

Exercices

  1. Pour chacun des systèmes suivants, donnez une description de l’ensemble-solution.

    1. \(\begin{array}{r} x -y + z = 1 \\ y - 2z = 2 \end{array}\)

    2. \(3x - 4y + z= 12\)

    3. \(\begin{array}{r} x_1 - x_3 + x_4 = 0 \\ x_2 - 2x_4 = 0 \end{array}\)

  2. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3\\ 1 & 1 & 2\end{bmatrix}\). Est-ce que le système homogène \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}\) admet une solution non triviale?

  3. Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m\times n}\), où \(\mathbb{K}\) est un corps. Soit \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = \{\mathbf{d} \in \mathbb{K}\,:\,\mathbf{A}\mathbf{d} = \mathbf{0}\}\). Soit \(\mathbf{x}^*, \mathbf{x}' \in \mathbb{K}^n\).

    1. Montrez que \(\mathbf{A}(\mathbf{x}^* - \mathbf{x}') = \mathbf{A}\mathbf{x}^* - \mathbf{A}\mathbf{x}'.\)

    2. Soit \(\mathbf{z} = \mathbf{x}^* + \mathbf{x}'\). Montrez que si \(\mathbf{x}^*, \mathbf{x}' \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), alors \(\mathbf{z} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}.\)

    3. Soit \(\alpha \in \mathbb{K}\). Soit \(\mathbf{u} = \alpha \mathbf{x}^*\). Montrez que si \(\mathbf{x}^* \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), alors \(\mathbf{u} \in {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\).

Solutions

    1. \(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\\ 1 \end{bmatrix}\), où \(s\) est un réel arbitraire.

    2. \(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} \frac{4}{3} \\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \\ 0 \\\ 1 \end{bmatrix}\), où \(s\) et \(t\) sont des réels arbitraires.

    3. \(\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\\ 1 \end{bmatrix}\), où \(s\) et \(t\) sont des réels arbitraire.

  2. Oui. Par exemple, \(\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix}\) est une solution non triviale du système homogène.