5.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ -5 & 2 & 0\\ -1 & 2 & 1\end{bmatrix}\) et \(\sigma\) la permutation \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\). Quelle valeur prend \(a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)}\)?
Calculez le déterminant de \(\begin{bmatrix} -i & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{bmatrix}\).
Considérons la matrice \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & k & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}.\) Déterminez toutes les valeurs de \(k\) qui rendent \(\mathbf{A}\) singulière.
Soient \(\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathbb{C}^{3\times 3}\). Si \(\det(\mathbf{A}) = 1-i\) et \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & 2 & 5\\ 0 & 0 & i\end{bmatrix}\), quelle valeur prend \(\det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T})\)?
Solutions
De ce qui est donné, \(\sigma(1) = 3\), \(\sigma(2) = 1\) et \(\sigma(3) = 2\). Ainsi, \[\begin{align*} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)} & = a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} \\ & = 4\cdot (-5) \cdot 2 = -40. \end{align*}\]
Nous allons calculer le déterminant en utilisant trois méthodes différentes.
Méthode 1 (formule pour les matrices \(3\times 3\))
Le déterminant est \[\begin{align*} & (-i)\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 0 \cdot (-1) + 0\cdot 1 \cdot 1 - 0\cdot 2\cdot (-1) - (-i)\cdot 0 \cdot 1 - 1\cdot 1 \cdot 1 \\ = & -1 -2i. \end{align*}\]
Méthode 2 (réduction)
\[\begin{array}{rll} \begin{vmatrix} -i & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\-i & 1 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftrightarrow L_2) \\ = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\-i & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_3 \leftarrow L_3 + L_1) \\ = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1+2i & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_2 \leftarrow L_2 + iL_1) \\ = & -(1+2i) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_2 \leftarrow \frac{1}{1+2i}L_2) \\ = & (-1-2i) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} & (L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2) \\ = & -1-2i. \end{array}\]
Méthode 3 (méthode des cofacteurs)
Notons qu’il y a plusieurs éléments nuls dans la troisième colonne. En utilisant la méthode des cofacteurs selon la troisième colonne, on obtient \[(-1)^{3+3}(1) \begin{vmatrix} -i & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = (-i)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -1 - 2i\]
Puisque \(\mathbf{A}\) est une matrice des nombres réels, \(\mathbf{A}\) est singulière si et seulement si \(\det(\mathbf{A}) = 0\).
Notons que dans la deuxième, seul l’élément de la quatrième colonne est non nul. Ainsi, en utilisant la méthode des cofacteurs selon la deuxième ligne, on voit que \(\det(\mathbf{A})\) est simplement \[\begin{align*} & (-1)^{2+4} (-1) \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \\ = & -(k\cdot 0\cdot 2 + 1\cdot k \cdot 1 + 1\cdot 1\cdot(-1) - 1\cdot 0\cdot 1 - (-1)\cdot k\cdot k - 2\cdot 1\cdot 1) \\ = & -(k - 1 + k^2 - 2) \\ = & -k^2 -k + 3. \\ \end{align*}\] Ainsi, \(\det(\mathbf{A}) = 0\) si et seulement si \(k = (-1\pm\sqrt{13})/2\), d’où \(\mathbf{A}\) est singulière lorsque \(k = (-1+\sqrt{13})/2\) ou \(k = (-1-\sqrt{13})/2.\)
On écrit \(\det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T})\) en termes de \(\det(\mathbf{A})\) et \(\det(\mathbf{B})\). Puisque \(\mathbf{B}\) est triangulaire supérieure, \(\det(\mathbf{B})\) est donné par le produit des éléments sur la diagonale, qui est \(2i\). Ainsi, \[\begin{align*} \det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T}) & = \det(\mathbf{A}^{-2})\det(\mathbf{B}^\mathsf{T}) \\ & = \det( (\mathbf{A}^{-1})^2) \det(\mathbf{B}) \\ & = \det( \mathbf{A}^{-1})^2 (2i) \\ & = \left(\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\right)^2 (2i) \\ & = \left(\frac{1}{1-i}\right)^2 (2i) \\ & = \frac{1}{-2i} (2i) \\ & = -1. \end{align*}\]