5.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Soient $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ -5 & 2 & 0\\ -1 & 2 & 1\end{bmatrix}$ et $\sigma$ la permutation $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Quelle valeur prend $a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} a_{3,\sigma(3)}$?

2. Calculez le déterminant de $\begin{bmatrix} -i & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1\end{bmatrix}$.

3. Considérons la matrice $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & k & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}.$ Déterminez toutes les valeurs de $k$ qui rendent $\mathbf{A}$ singulière.

4. Soient $\mathbf{A},\mathbf{B} \in \mathbb{C}^{3\times 3}$. Si $\det(\mathbf{A}) = 1-i$ et $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & 2 & 5\\ 0 & 0 & i\end{bmatrix}$, quelle valeur prend $\det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T})$?

Solutions

1. De ce qui est donné, $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 1$ et $\sigma(3) = 2$. Ainsi, $$\begin{align*} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} a_{3\sigma(3)} & = a_{1,3} a_{2,1} a_{3,2} \\ & = 4\cdot (-5) \cdot 2 = -40. \end{align*}$$

2. Nous allons calculer le déterminant en utilisant trois méthodes différentes.

   Méthode 1 (formule pour les matrices $3\times 3$)

   Le déterminant est $$\begin{align*} & (-i)\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 0 \cdot (-1) + 0\cdot 1 \cdot 1 - 0\cdot 2\cdot (-1) - (-i)\cdot 0 \cdot 1 - 1\cdot 1 \cdot 1 \\ = & -1 -2i. \end{align*}$$

   Méthode 2 (réduction)

   $$\begin{array}{rll} \begin{vmatrix} -i & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\-i & 1 & 0 \\-1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & (L_1 \leftrightarrow L_2) \\ = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\-i & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_3 \leftarrow L_3 + L_1) \\ = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1+2i & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_2 \leftarrow L_2 + iL_1) \\ = & -(1+2i) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} & (L_2 \leftarrow \frac{1}{1+2i}L_2) \\ = & (-1-2i) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} & (L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2) \\ = & -1-2i. \end{array}$$

   Méthode 3 (méthode des cofacteurs)

   Notons qu’il y a plusieurs éléments nuls dans la troisième colonne. En utilisant la méthode des cofacteurs selon la troisième colonne, on obtient $$(-1)^{3+3}(1) \begin{vmatrix} -i & 1 \\ 1 & 2\end{vmatrix} = (-i)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -1 - 2i$$

3. Puisque $\mathbf{A}$ est une matrice des nombres réels, $\mathbf{A}$ est singulière si et seulement si $\det(\mathbf{A}) = 0$.

   Notons que dans la deuxième, seul l’élément de la quatrième colonne est non nul. Ainsi, en utilisant la méthode des cofacteurs selon la deuxième ligne, on voit que $\det(\mathbf{A})$ est simplement $$\begin{align*} & (-1)^{2+4} (-1) \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & 0 & k \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \\ = & -(k\cdot 0\cdot 2 + 1\cdot k \cdot 1 + 1\cdot 1\cdot(-1) - 1\cdot 0\cdot 1 - (-1)\cdot k\cdot k - 2\cdot 1\cdot 1) \\ = & -(k - 1 + k^2 - 2) \\ = & -k^2 -k + 3. \\ \end{align*}$$ Ainsi, $\det(\mathbf{A}) = 0$ si et seulement si $k = (-1\pm\sqrt{13})/2$, d’où $\mathbf{A}$ est singulière lorsque $k = (-1+\sqrt{13})/2$ ou $k = (-1-\sqrt{13})/2.$

4. On écrit $\det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T})$ en termes de $\det(\mathbf{A})$ et $\det(\mathbf{B})$. Puisque $\mathbf{B}$ est triangulaire supérieure, $\det(\mathbf{B})$ est donné par le produit des éléments sur la diagonale, qui est $2i$. Ainsi, $$\begin{align*} \det(\mathbf{A}^{-2}\mathbf{B}^\mathsf{T}) & = \det(\mathbf{A}^{-2})\det(\mathbf{B}^\mathsf{T}) \\ & = \det( (\mathbf{A}^{-1})^2) \det(\mathbf{B}) \\ & = \det( \mathbf{A}^{-1})^2 (2i) \\ & = \left(\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\right)^2 (2i) \\ & = \left(\frac{1}{1-i}\right)^2 (2i) \\ & = \frac{1}{-2i} (2i) \\ & = -1. \end{align*}$$