6.5 Combinaison linéaire et espace engendré

Soient \((V, \mathbb{K})\) un espace vectoriel, \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)} \in V\), et \(\alpha_1,\ldots,\alpha_k \in \mathbb{K}.\) La somme \[\alpha_1 \mathbf{v}^{(1)}+\cdots + \alpha_k \mathbf{v}^{(k)}\] est une combinaison linéaire de \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}.\)

Exemple 6.4 \(2\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}\) est une combinaison linéaire des 2-uplets \(\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}.\)

Exemple 6.5 \(3\begin{bmatrix} 1&0\\0& 2\end{bmatrix} + (-1) \begin{bmatrix} 2 &3\\4 &0\end{bmatrix}\) est une combinaison linéaire des matrices \(\begin{bmatrix} 1&0\\0& 2\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 2 &3\\4 &0\end{bmatrix}.\) (Notons que l’on écrit souvent \(3\begin{bmatrix} 1&0\\0& 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 &3\\4 &0\end{bmatrix}\) au lieu.)

Exemple 6.6 Le polynôme \(ax^2 + bx + c\), où \(a,b,c \in \mathbb{R}\), peut être considéré comme une combinaison linéaire des polynômes \(x^2\), \(x\) et \(1.\)

L’espace engendré par \(\left\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\right\}\) (ou l’espace engendré par \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\)), dénoté par \(\operatorname{Vect}\left ({\left\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\right\}} \right),\) est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\).

L’espace engendré par l’ensemble vide est l’espace vectoriel ne contenant que le vecteur nul. (Cette définition est parfois nécessaire afin de raccourcir certaines preuves.)

Exemple 6.7 L’espace engendré par les matrices \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\) est l’ensemble de toutes les matrices de la forme \(\begin{bmatrix} a & b \\ b & 0\end{bmatrix}\), puisque toutes les combinaisons linéaires de ces matrices peuvent s’écrire sous la forme \(a \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}+ b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}.\)

Exemple 6.8 \(\operatorname{Vect}\left ({\left\{\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\1\end{bmatrix}\right\}} \right) = \mathbb{R}^2\) puisque \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}\) peut s’écrire sous la forme \(x\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}.\)

Exemple 6.9 Voici une version plus générale de l’exemple précédant. Soient \(n\) un entier positif et \(\mathbb{K}\) un corps. Si \(\mathbf{e}^{(k)}\) dénote le \(n\)-uplet où toutes les composantes sont nulles, sauf la \(k\)-ième qui est 1, alors \(\operatorname{Vect}\left ({ \{ \mathbf{e}^{(1)},\ldots, \mathbf{e}^{(n)} \}} \right) = \mathbb{K}^n.\)

Exemple 6.10 On montre que \(\operatorname{Vect}\left ({\left\{\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\-1\end{bmatrix}\right\}} \right) = \mathbb{R}^2\).

Il suffit de montrer que chaque \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2\) peut s’écrire en tant que combinaison linéaire de \(\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 1 \\-1\end{bmatrix}\), c’est-à-dire qu’il existe des scalaires \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}+ \beta\begin{bmatrix} 1\\-1\end{bmatrix}\), ou de façon équivalente, \(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta\\\alpha - \beta\end{bmatrix}.\)

C’est un système linéaire qui prend la forme \[\begin{align*} \alpha + \beta & = x \\ \alpha - \beta & = y. \end{align*}\] Ce système admet la solution \(\alpha = \frac{x+y}{2}\) et \(\beta = \frac{x-y}{2}.\) Donc, \(\begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix}\) est une combinaison linéaire de \(\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 1 \\-1\end{bmatrix}\).

De la définition d’un espace vectoriel, on voit directement que si \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\) sont des vecteurs d’un espace vectoriel \(V\), alors \(V\) contient chaque combinaison linéaire de \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\). Ainsi, \(V\) contient l’espace engendré par \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\). On le voit assez facilement dans le cas \(k=2\): soient \(\mathbf{v}^{(1)},\mathbf{v}^{(2)}\in V\), \(\alpha\), \(\beta\) des scalaires. Puisque \(V\) est fermé par rapport à la multiplication par un scalaire, nous avons \(\alpha \mathbf{v}^{(1)}, \beta \mathbf{v}^{(2)} \in V\). En utilisant le fait que \(V\) est fermé par rapport à l’addition, on obtient \(\alpha \mathbf{v}^{(1)}+\beta \mathbf{v}^{(2)} \in V\). Ainsi, \(V\) contient l’espace engendré de \(\{\mathbf{v}^{(1)}, \mathbf{v}^{(2)}\}\).

Proposition 6.1 Soit \(V\) un espace vectoriel. Soit \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)} \in V.\) Alors l’espace engendré par \(\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\}\) est un sous-espace de \(V\).

Par exemple, soit \(V\) l’espace engendré de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}\) dans \(\mathbb{R}^{2}\). Alors chaque vecteur de \(V\) prend la forme \(\begin{bmatrix} a \\ 2a\end{bmatrix}\) où \(a \in \mathbb{R}.\) Notons que chaque vecteur de \(V\) est aussi un vecteur de \(\mathbb{R}^2\), mais que \(V \neq \mathbb{R}^2\). Ainsi, \(V\) est un sous-espace propre de \(\mathbb{R}^2\).

Lorsqu’un espace vectoriel \(V\) est égal à \(\operatorname{Vect}\left ({\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)}\}} \right)\) pour \(\mathbf{v}^{(1)},\ldots,\mathbf{v}^{(k)} \in V\), nous avons une description de tous les vecteurs de \(V\). Chaque vecteur de \(V\) est une combinaison linéaire de ces \(k\) vecteurs. Cette propriété est très jolie et sera explorée en détail. Cependant, nous verrons qu’il y a des espaces vectoriels qui ne sont pas engendrés par un ensemble fini de vecteurs.

Exercices

  1. Soit \(V\) un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) donné par l’espace engendré de l’ensemble \(\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\right\}\). Montrez que \(V\) est un sous-espace propre de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Déterminez l’espace engendré des ensembles suivants, à scalaires dans \(\mathbb{R}\). Exprimez vos réponses le plus brièvement possible.

    1. \(\left\{\begin{bmatrix} 2\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\-1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\0\\1 \end{bmatrix}\right\}\)

    2. \(\{ x-1, x+2\}\)

    3. \(\left\{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\right\}\)

Solutions

  1. Montrons qu’on ne peut écrire \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\) en tant que combinaison linéaire de \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\1\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\).

    Supposons, au contraire, qu’il existe des réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \[\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}= \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 0\\1\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}.\] En comparant les éléments de la seconde composante, on obtient \(\beta = 1.\) Il s’ensuit que \(\alpha = 0\) selon les éléments de la première composante. Avec ces valeurs, cependant, le côté droit se réduit à \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix},\) qui est différent du côté gauche.

    1. \(\mathbb{R}^3\)

    2. \(\{ ax + b \,:\,a, b \in \mathbb{R}\}\)

    3. \(\left\{\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \,:\,a, b, c \in \mathbb{R}\right\}\)