7.5 Matrices symétriques et hermitiennes

Soit \(\mathbf{A}\) une matrice de taille \(n\times n\). On dit que \(\mathbf{A}\) est symétrique si \(\mathbf{A} = \mathbf{A}^\mathsf{T}\). Par exemple, les matrices suivantes sont symétriques : \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\) \(\begin{bmatrix} \pi & 1 \\ 1 & \sqrt{2} \end{bmatrix},\) \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 &6 \end{bmatrix}.\)

Lorsque les éléments de \(\mathbf{A}\) sont des nombres complexes, il est plus commun de considérer si cette dernière est hermitienne : \[\overline{\mathbf{A}^\mathsf{T}} = \mathbf{A}.\] Ici, \(\overline{\mathbf{A}}\) dénote la matrice dont l’élément \((i,j)\) est le conjugué de l’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{A}.\)

Exemple 7.5 La matrice \(\begin{bmatrix} 1 & 1-i \\ 1+i & 3\end{bmatrix}\) est hermitienne.

Notons que chaque élément sur la diagonale d’une matrice hermitienne doit être réel puisqu’il est égal à son conjugué. De plus, une matrice hermitienne réelle est tout simplement une matrice symétrique réelle.

Par convention, on écrit \(\mathbf{A}^*\) à la place de \(\overline{\mathbf{A}^\mathsf{T}}.\) Donc, une matrice \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}\) est hermitienne si et seulement si \(\mathbf{A} = \mathbf{A}^*\).

Les matrices symétriques et hermitiennes sont utilisées dans plusieurs applications, telles que la théorie du contrôle, les analyses statistiques, et l’optimisation.

7.5.1 Les valeurs propres de matrices symétriques réelles

Théorème 7.1 Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}\) une matrice hermitienne. Alors chaque valeur propre de \(\mathbf{A}\) est réelle.

Une preuve du théorème est décrite dans un des exercices de fin de section.

Puisqu’une matrice symétrique réelle est aussi hermitienne, le résultat suivant découle du théorème 7.1.

Corollaire 7.1 Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}\) une matrice symétrique. Alors, chaque valeur propre de \(\mathbf{A}\) est réelle.

Pour illustrer ce théorème, établissons le corollaire dans le cas d’une matrice \(2\times 2\). Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\) une matrice symétrique. Alors, \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b\\ b & c\end{bmatrix}\), pour des réels \(a\), \(b\) et \(c\).

Les valeurs propres de \(\mathbf{A}\) sont toutes les valeurs \(\lambda\) satisfaisant à \[\left|\begin{array}{cc} a - \lambda & b \\ b & c - \lambda \end{array}\right | = 0.\] En faisant l’expansion du côté gauche, on obtient \[\lambda^2 -(a+c)\lambda + ac - b^2 = 0.\] Le terme de gauche est une fonction quadratique en \(\lambda\) ayant comme discriminant \((a+c)^2 - 4ac + 4b^2 = (a-c)^2 + 4b^2,\) qui est la somme de deux carrés de nombres réels et est donc non négatif pour toutes les valeurs réelles \(a\), \(b\) et \(c\). Les racines de cette fonction quadratique sont donc réelles, tout comme les valeurs propres de \(\mathbf{A}.\)

Exercices

1. Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n\times n}\) une matrice hermitienne. Soit \(\mathbf{v}\) un vecteur propre de \(\mathbf{A}\) associé à la valeur propre \(\lambda.\)

   1. Montrez que \[\left(\overline{ \mathbf{A} \mathbf{v} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} = \overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}\mathbf{A}\mathbf{v}.\]

   2. Utilisez le résultat précédent pour déduire que \(\overline{\lambda} = \lambda\)

Solutions

1. 1. Notons que \[\begin{align*} \left(\overline{ \mathbf{A} \mathbf{v} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} & = \left(\overline{ \mathbf{A} } \overline{ \mathbf{v} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} \\ & = \overline{ \mathbf{v} }^\mathsf{T}\left(\overline{ \mathbf{A} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} \\ & = \overline{ \mathbf{v} }^\mathsf{T}\mathbf{A}^* \mathbf{v} \\ & = \overline{ \mathbf{v} }^\mathsf{T}\mathbf{A} \mathbf{v} \end{align*}\] tel que désiré.

   2. Du résultat précédent, on obtient \[\left(\overline{ \mathbf{A} \mathbf{v} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} = \overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}\mathbf{A}\mathbf{v},\] d’où \[\left(\overline{ \lambda \mathbf{v} }\right)^\mathsf{T}\mathbf{v} = \overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}( \lambda \mathbf{v}),\] ce qui implique que \[\overline{\lambda}\overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}\mathbf{v} = \lambda \overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}\mathbf{v}.\] Puisque \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) (car \(\mathbf{v}\) est un vecteur propre de \(\mathbf{A}\)), \(\overline{\mathbf{v}}^\mathsf{T}\mathbf{v}\) doit être un nombre réel positif. On en déduit que \(\overline{\lambda} = \lambda.\)