1.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Soit \(\begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ 2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\) un \(3\)-uplet ayant des éléments de \(\mathbb{R}\). Quel valeur prend \(t_2^2\)?
Écrivez tous les éléments de l’ensemble \(\{n \in \mathbb{N}\,:\,(n-2)^2 \leq 10\}\).
Écrivez tous les éléments de l’ensemble de \(\left\{\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^2 \,:\,|a+b|=1,~a\geq 0,~b \geq -1\right\}\).
Évaluez l’expression \(2+(2\cdot(1+1))\) de \(GF(3).\)
Donnez l’inverse de \(4-\sqrt{5}\) sous la forme \(a+b\sqrt{5}\), où \(a,b \in \mathbb{Q}\).
Solutions
Utilisons l’arithmétique des uplets pour obtenir la forme la plus simple possible : \[\begin{align*} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ 2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}. \end{align*}\] Donc, \(t_2^2 = (-1)^2 = 1\).
Notons que si \(n\in\mathbb{N}\), alors \(k = n-2\) est un entier relatif. Les seules entiers relatifs pour lesquels \(k^2 \leq 10\) sont \(0,1,4,9\). Donc, les valeurs possible de \(k\) sont \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\). Puisque \(n=k+2\) doit être un nombre naturel, les éléments de l’ensemble sont \(1, 2, 3, 4, 5\).
Nous considérons deux cas, dépendant de la valeur de \(b\).
Cas 1. \(b \geq 0\). Puisque \(a \geq 0\), \(|a+b|=1\) devient tout simplement \(a+b=1\). Puisque \(a\) et \(b\) doivent être des entiers non négatifs, on doit avoir \[a = 0, b = 1,\] ou \[a = 1, b = 0.\]
Cas 2. \(b = -1\). Puisque \(a\) doit satisfaire à \(|a-1|=1,\) les seuls possibilités sont \(a = 0\) et \(a = 2\).
En combinant les deux cas, on voit que les seuls éléments de l’ensemble sont \(\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0\\ -1\end{bmatrix}\), et \(\begin{bmatrix} 2\\ -1\end{bmatrix}\).
\(2+(2\cdot(1+1))= 2 + (2\cdot 2) = 2+1 = 0\)
Rappelons que l’inverse de \(4-\sqrt{5}\) est un nombre \(\alpha\) tel que \(\alpha (4- \sqrt{5}) = 1\). Dans cette question, nous devons exprimer \(\alpha\) sous la forme \(a + b\sqrt{5}\), où \(a,b\in \mathbb{Q}\).
Donc, on doit trouver \(a,b\in \mathbb{Q}\) tels que \((a+b\sqrt{5})(4-\sqrt{5}) = 1\).
Notons que \[\begin{align*} (a+b\sqrt{5})(4-\sqrt{5}) & = a(4-\sqrt{5}) +b\sqrt{5}(4-\sqrt{5}) \\ & = 4a-a\sqrt{5} +4b\sqrt{5}-5b \\ & = (4a-5b) + (-a+4b)\sqrt{5}. \end{align*}\] Ainsi, on doit avoir \((4a-5b) + (-a+4b)\sqrt{5} = 1\). Puisque \(\sqrt{5}\) est irrationnel et que \(-a+4b\) est rationnel, on doit avoir \(-a+4b = 0\). Ceci veut dire que l’on doit avoir \(4a-5b=1\).
Si \(-a + 4b = 0,\) alors \(a = 4b\). En substituant ce résultat dans \(4a-5b=1\), on obtient \(4(4b)-5b=1,\) ce qui implique que \(11b = 1\). Donc, \(b = \frac{1}{11}\) et \(a = \frac{4}{11}\). Ainsi, la réponse est \(\frac{4}{11}+\frac{1}{11}\sqrt{5}\).
Remarque. On peut arriver à la réponse plus rapidement de la façon suivante : Nous voulons nous débarasser du dénominateur de \(\frac{1}{4-\sqrt{5}}\). Pour ce faire, nous calculons simplement \(\frac{1}{4-\sqrt{5}} \cdot \frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} = \frac{4+\sqrt{5}}{4^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4+\sqrt{5}}{16 - 5} = \frac{4+\sqrt{5}}{11}.\) L’expression \(4 + \sqrt{5}\) est appellé le conjugué de \(4-\sqrt{5}\).