1.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre

1. Soit $\begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ 2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ un $3$-uplet ayant des éléments de $\mathbb{R}$. Quel valeur prend $t_2^2$?

2. Écrivez tous les éléments de l’ensemble $\{n \in \mathbb{N}\,:\,(n-2)^2 \leq 10\}$.

3. Écrivez tous les éléments de l’ensemble de $\left\{\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^2 \,:\,|a+b|=1,~a\geq 0,~b \geq -1\right\}$.

4. Évaluez l’expression $2+(2\cdot(1+1))$ de $GF(3).$

5. Donnez l’inverse de $4-\sqrt{5}$ sous la forme $a+b\sqrt{5}$, où $a,b \in \mathbb{Q}$.

Solutions

1. Utilisons l’arithmétique des uplets pour obtenir la forme la plus simple possible : $$\begin{align*} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ 2\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}. \end{align*}$$ Donc, $t_2^2 = (-1)^2 = 1$.

2. Notons que si $n\in\mathbb{N}$, alors $k = n-2$ est un entier relatif. Les seules entiers relatifs pour lesquels $k^2 \leq 10$ sont $0,1,4,9$. Donc, les valeurs possible de $k$ sont $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$. Puisque $n=k+2$ doit être un nombre naturel, les éléments de l’ensemble sont $1, 2, 3, 4, 5$.

3. Nous considérons deux cas, dépendant de la valeur de $b$.

   Cas 1. $b \geq 0$. Puisque $a \geq 0$, $|a+b|=1$ devient tout simplement $a+b=1$. Puisque $a$ et $b$ doivent être des entiers non négatifs, on doit avoir $$a = 0, b = 1,$$ ou $$a = 1, b = 0.$$

   Cas 2. $b = -1$. Puisque $a$ doit satisfaire à $|a-1|=1,$ les seuls possibilités sont $a = 0$ et $a = 2$.

   En combinant les deux cas, on voit que les seuls éléments de l’ensemble sont $\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0\\ -1\end{bmatrix}$, et $\begin{bmatrix} 2\\ -1\end{bmatrix}$.

4. $2+(2\cdot(1+1))= 2 + (2\cdot 2) = 2+1 = 0$

5. Rappelons que l’inverse de $4-\sqrt{5}$ est un nombre $\alpha$ tel que $\alpha (4- \sqrt{5}) = 1$. Dans cette question, nous devons exprimer $\alpha$ sous la forme $a + b\sqrt{5}$, où $a,b\in \mathbb{Q}$.

   Donc, on doit trouver $a,b\in \mathbb{Q}$ tels que $(a+b\sqrt{5})(4-\sqrt{5}) = 1$.

   Notons que $$\begin{align*} (a+b\sqrt{5})(4-\sqrt{5}) & = a(4-\sqrt{5}) +b\sqrt{5}(4-\sqrt{5}) \\ & = 4a-a\sqrt{5} +4b\sqrt{5}-5b \\ & = (4a-5b) + (-a+4b)\sqrt{5}. \end{align*}$$ Ainsi, on doit avoir $(4a-5b) + (-a+4b)\sqrt{5} = 1$. Puisque $\sqrt{5}$ est irrationnel et que $-a+4b$ est rationnel, on doit avoir $-a+4b = 0$. Ceci veut dire que l’on doit avoir $4a-5b=1$.

   Si $-a + 4b = 0,$ alors $a = 4b$. En substituant ce résultat dans $4a-5b=1$, on obtient $4(4b)-5b=1,$ ce qui implique que $11b = 1$. Donc, $b = \frac{1}{11}$ et $a = \frac{4}{11}$. Ainsi, la réponse est $\frac{4}{11}+\frac{1}{11}\sqrt{5}$.

   Remarque. On peut arriver à la réponse plus rapidement de la façon suivante : Nous voulons nous débarasser du dénominateur de $\frac{1}{4-\sqrt{5}}$. Pour ce faire, nous calculons simplement $\frac{1}{4-\sqrt{5}} \cdot \frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} = \frac{4+\sqrt{5}}{4^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4+\sqrt{5}}{16 - 5} = \frac{4+\sqrt{5}}{11}.$ L’expression $4 + \sqrt{5}$ est appellé le conjugué de $4-\sqrt{5}$.