8.6 Retour sur les changements de bases.
Rappelons que pour tout espace vectoriel \(V\) de dimension \(n\) et toutes bases ordonnées \(\Gamma\) et \(\Omega\) de \(V,\) il existe une unique matrice \(\mathbf{A}\) telle que \([\mathbf{u}]_\Omega = \mathbf{A} [\mathbf{u}]_\Gamma\) pour chaque \(\mathbf{u} \in V.\) La matrice en question est construite à l’aide de l’application linéaire identité, dénotée par \(\operatorname{id},\) pour laquelle \(\operatorname{id}(\mathbf{u}) = \mathbf{u}\) pour chaque \(u \in V.\) Autrement dit, \([\operatorname{id}]_{\Gamma}^{\Omega}\) est exactement la matrice de changement de base de \(\Gamma\) à \(\Omega\) recherchée. Notons que cette matrice est nécessairement inversible puisque \(\operatorname{id}\) est une bijection.
Exemple 8.11 Soient \(\Gamma = \left ( \begin{bmatrix} 2\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\3\end{bmatrix} \right)\) et \(\Omega = \left ( \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix} \right )\) des bases ordonnées de \(\mathbb{R}^2.\) Afin de obtenir la matrice de changement de base de \(\Gamma\) à \(\Omega,\) écrivons tout d’abord chacun des vecteurs de \(\Gamma\) en tant que combinaison linéaire des vecteurs de \(\Omega.\) Notons que \[\begin{bmatrix} 2\\0\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} + (-1) \begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix}\] et \[\begin{bmatrix} 1\\3\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} -1\\1\end{bmatrix},\] d’où la matrice changement de base de \(\Gamma\) à \(\Omega\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1\end{bmatrix}.\)
Exercices
Soient \(\Gamma = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\right)\) et \(\Omega = \left ( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\ 0 \ \end{bmatrix}\right)\) des bases ordonnées de \(\mathbb{R}^2\) Déterminez la matrice changement de base de \(\Gamma\) à \(\Omega.\)
Soit \(\Gamma = \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right )\) une base ordonnée de \(\mathbb{R}^2.\) Si \([\operatorname{id}]_\Gamma^\Omega = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\) que doit être \(\Omega\) ?
Solutions
Notons que \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 0\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\] et \[\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}.\] Donc, la matrice changement de base est \(\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & -1\end{bmatrix}.\)
Supposons que \(\Omega\) soit donnée par \((\mathbf{u}, \mathbf{v}).\) Nous devons avoir \[\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = 0\mathbf{u} + 1\mathbf{v}\] et \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 1\mathbf{u} + 0\mathbf{v}.\] Donc, \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}.\)