8.6 Retour sur les changements de bases.

Rappelons que pour tout espace vectoriel V de dimension n et toutes bases ordonnées Γ et Ω de V, il existe une unique matrice A telle que [u]Ω=A[u]Γ pour chaque u∈V. La matrice en question est construite à l’aide de l’application linéaire identité, dénotée par id, pour laquelle id(u)=u pour chaque u∈V. Autrement dit, [id]ΩΓ est exactement la matrice de changement de base de Γ à Ω recherchée. Notons que cette matrice est nécessairement inversible puisque id est une bijection.

Exemple 8.11 Soient Γ=([20],[13]) et Ω=([11],[−11]) des bases ordonnées de R2. Afin de obtenir la matrice de changement de base de Γ à Ω, écrivons tout d’abord chacun des vecteurs de Γ en tant que combinaison linéaire des vecteurs de Ω. Notons que [20]=1[11]+(−1)[−11] et [13]=2[11]+1[−11], d’où la matrice changement de base de Γ à Ω est [12−11].

Exercices

  1. Soient Γ=([10],[11]) et Ω=([21],[10 ]) des bases ordonnées de R2 Déterminez la matrice changement de base de Γ à Ω.

  2. Soit Γ=([1−1],[10]) une base ordonnée de R2. Si [id]ΩΓ=[0110], que doit être Ω ?

Solutions

  1. Notons que [10]=0[21]+1[10] et [11]=1[21]+(−1)[10]. Donc, la matrice changement de base est [011−1].

  2. Supposons que Ω soit donnée par (u,v). Nous devons avoir [1−1]=0u+1v et [10]=1u+0v. Donc, u=[10] et v=[1−1].