7.3 Multiplicités algébriques et géométriques

Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(\mathbf{A}\). Rappelons que les vecteurs propres de \(\mathbf{A}\) associés à \(\lambda\) sont les vecteurs non nuls dans le noyau de \(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\). Le noyau de \(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}\) est l’espace propre de \(\mathbf{A}\) associé à \(\lambda\) et il est dénoté par \(E_{\mathbf{A}}({\lambda})\).

Exemple 7.2 Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\). Notons que \(-1\) est une valeur propre de \(\mathbf{A}\). Alors, \(\mathbf{A} - (-1)\mathbf{I}_2= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}.\) Le noyau de cette matrice est engendré par le vecteur \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\). Ainsi, \(E_{\mathbf{A}}({-1})\) est contenu dans \(\operatorname{Vect}\left ({\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}} \right).\)

La multiplicité géométrique d’une valeur propre \(\lambda\) de \(\mathbf{A}\) est la dimension de \(E_{\mathbf{A}}({\lambda})\). Dans l’exemple ci-dessus, la multiplicité géométrique de \(-1\) est \(1\) puisque l’espace propre est engendré par un seul vecteur non nul.

La multiplicité algébrique d’une valeur valeur propre \(\tilde{\lambda}\) de \(\mathbf{A}\) mesure le nombre de fois que l’on retrouve le terme \((\lambda - \tilde{\lambda})\) dans la factorisation de \(\chi_\mathbf{A}(\lambda)\). Dans l’exemple ci-dessus, on peut vérifier que \((\lambda-(-1))\) n’apparaît qu’une seule fois.

Étudions maintenant un cas où la valeur propre possède une multiplicité algébrique supérieure à \(1.\)

Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\). Alors, \[\chi_{\mathbf{A}}(\lambda) = \det(\mathbf{A}- \lambda \mathbf{I}_2) = \left| \begin{matrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 1-\lambda\end{matrix} \right| = (1-\lambda)^2=(\lambda-1)^2.\] Notons que \(1\) est une racine et que le terme \((\lambda-1)\) apparaît deux fois. Donc, la multiplicité algébrique de \(1\) est \(2\). Afin d’obtenir sa multiplicité géométrique, considérons \(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\). On voit tout de suite que le rang de cette matrice est \(1\). D’après théorème 6.3, la dimension du noyau de cette matrice est \(1,\) d’où la multiplicité géométrique est également \(1\). On constate que les deux multiplicités sont différentes!

Proposition 7.2 La multiplicité géométrique d’une valeur propre est inférieure ou égale à sa multiplicité algébrique.

Une preuve de cette proposition est discutée dans un des exercices ci-dessous.

Exercices

  1. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\).

    1. Déterminez les valeurs propres de \(\mathbf{A}\).

    2. Déterminez la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique de chacune des valeurs propres.

  2. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 8 & -9 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}\).

    1. Déterminez toutes les valeurs propres de \(\mathbf{A}\).

    2. Déterminez la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique de chacune des valeurs propres.

  3. Soient \(\mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^{n\times n}\). On dit que \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) sont similaires si \(\mathbf{B}= \mathbf{S}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S}\) pour une matrice inversible \(\mathbf{S}\in\mathbb{C}^{n\times n}\).

    1. Démontrez que \(\chi_\mathbf{A}(\lambda) = \chi_\mathbf{B}(\lambda).\)

    2. Soit \(\lambda'\) une valeur propre de \(\mathbf{A}\). Démontrez que la multiplicité géométrique de \(\lambda'\) est au moins la multiplicité algébrique de \(\lambda'\).

Solutions

    1. Le polynôme caractéristique est \[\begin{align*} (1-\lambda)(2-\lambda)-2\cdot 3 & = 2-3\lambda+\lambda^2 -6 \\ & = \lambda^2 - 3\lambda - 4\\ & = (\lambda+1)(\lambda-4) \end{align*}\] Les valeurs propres sont alors \(-1\) et \(4.\)

    2. La multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique de chaque valeur proper est \(1.\)

    1. Le polynôme est \[\begin{align*} (8-\lambda)(-4-\lambda)-4\cdot (-9) & = -32-4\lambda+\lambda^2 +36 \\ & = \lambda^2 - 4\lambda + 4\\ & = (\lambda-2)^2 \end{align*}\] Il n’y a donc qu’une valeur propre : \(2.\)

    2. À partir du polynôme caractéristique, on voit que la multiplicité algébrique de cette valeur propre est 2. La multiplicité géométrique est donnée par la nullité de \[\mathbf{A}-2\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{bmatrix},\] dont la matrice échelonnée réduite est \(\begin{bmatrix} 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.\) Cette nullité est donc \(1,\) d’où la multiplicité géométrique est \(1.\)

    1. Or, \[\begin{align*} \chi_{\mathbf{B}}(\lambda) & = \det(\mathbf{B} - \lambda\mathbf{I}) \\ & = \det(\mathbf{S}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S}-\lambda\mathbf{S}^{-1}\mathbf{S}) \\ & = \det(\mathbf{S}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{S}-\lambda\mathbf{S})) \\ & = \det(\mathbf{S}^{-1})\det( (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{S}) \\ & = \frac{1}{\det(\mathbf{S})}\det( \mathbf{A}-\lambda\mathbf{I} ) \det(\mathbf{S})\\ & = \det( \mathbf{A}-\lambda\mathbf{I} ) = \chi_{\mathbf{A}}(\lambda). \end{align*}\] tel que désiré.

    2. Soit \(k\) la multiplicité géométrique de la valeur propre \(\lambda'.\) Soit \(\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(k)}\}\) une base de l’espace propre associé à la valeur propre \(\lambda'.\) D’après le corollaire 6.3, il existe \(\mathbf{v}^{(k+1)},\mathbf{v}^{(k+2)},\ldots, \mathbf{v}^{(n)}\in \mathbb{C}^n\) tel que \(\{\mathbf{v}^{(1)},\ldots, \mathbf{v}^{(n)}\}\) est une base de \(\mathbb{C}^n.\)

      Posons \(\mathbf{B} = \mathbf{S}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{S},\) où \(\mathbf{S} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}^{(1)} &\cdots & \mathbf{v}^{(n)}\end{bmatrix}.\) Alors, \[\begin{align*} \mathbf{S}\mathbf{B} & = \mathbf{A}\mathbf{S} \\ & = \begin{bmatrix} \lambda' \mathbf{S}_1 & \cdots & \lambda' \mathbf{S}_k & \mathbf{A}\mathbf{S}_{k+1} & \cdots & \mathbf{A}\mathbf{S}_n\end{bmatrix} \end{align*}\] Puisque les colonnes de \(\mathbf{S}\) sont linéairement indépendantes, on doit avoir que \(\mathbf{B}_i = \lambda' \mathbf{e}^{(i)}\), pour \(i = 1,\ldots,k\), où \(\mathbf{e}^{(i)}\) dénote la \(i\)-ième colonne de \(\mathbf{I}_n,\) d’où le polynôme caractéristique de \(\mathbf{B}\) prend la forme \((\lambda'-\lambda)^kq(\lambda)\), pour un polynôme \(q\) de degré \(n-k.\) Donc, la multiplicité algébrique de \(\lambda'\) est \(\geq k\), tel que désiré.