4.3 Matrice identité

Soient $S$ un anneau et $n$ un entier positif. La matrice identité de $S^{n\times n}$, dénotée par $\mathbf{I}_n$, est la matrice pour laquelle tous les éléments sont nuls, sauf ceux sur la diagonale (à partir d’en haut à gauche jusqu’en bas à droite) qui prennent la valeur 1.

Par exemple, $\mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ et $\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

On omet l’indice $n$ si le contexte rend la situation claire.

La matrice identité joue un rôle important dans l’arithmétique matricielle.

Proposition 4.1 Si $\mathbf{A} \in S^{n\times m}$ et $\mathbf{B} \in S^{p\times n}$, alors $$\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A}$$ et $$\mathbf{B}\,\mathbf{I}_n= \mathbf{B}.$$

Exemple 4.6 $$\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot a+ 0\cdot c & 1\cdot b + 0 \cdot d \\ 0\cdot a+ 1\cdot c & 0 \cdot b + 1 \cdot d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}$$

Démonstration. (Proposition 4.1) Démontrons que $\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A}$. L’autre preuve est semblable et est laissée en exercice.

Soit $\mathbf{D} = \mathbf{I}_n.$ Posons $\mathbf{C} = \mathbf{D} \mathbf{A}$. Alors $$c_{i,j} = \sum_{p = 1}^n d_{i,p} a_{p,j}.$$ Puisque $d_{i,p} = 0$ pour chaque $p \neq i$ et que $d_{i,i} = 1,$ il s’ensuit que $c_{i,j} = d_{i,i} a_{i,j} = a_{i,j}.$ Autrement dit, l’élément $(i,j)$ de $\mathbf{C}$ est précisément l’élément $(i,j)$ de $\mathbf{A}$ pour tout $1\leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq m$. Ainsi, $\mathbf{C} = \mathbf{A}$, tel que désiré.

Exercices

1. Soit $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}$. Déterminez une matrice $\mathbf{B}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ telle que $$\mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{I}_2.$$

2. Soient $\mathbb{K}$ un corps et $p, n$ des entiers positifs. Démontrez que si $\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{p\times n}$, alors $\mathbf{B}\,\mathbf{I}_n = \mathbf{B}.$

Solutions

1. $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$.

2. Soit $\mathbf{D} = \mathbf{I}_n.$ Posons $\mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{D}$. Quelle valeur prend $c_{i,j}$?