4.3 Matrice identité
Soient \(S\) un anneau et \(n\) un entier positif. La matrice identité de \(S^{n\times n}\), dénotée par \(\mathbf{I}_n\), est la matrice pour laquelle tous les éléments sont nuls, sauf ceux sur la diagonale (à partir d’en haut à gauche jusqu’en bas à droite) qui prennent la valeur 1.
Par exemple, \(\mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\).
On omet l’indice \(n\) si le contexte rend la situation claire.
La matrice identité joue un rôle important dans l’arithmétique matricielle.
Proposition 4.1 Si \(\mathbf{A} \in S^{n\times m}\) et \(\mathbf{B} \in S^{p\times n}\), alors \[\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A}\] et \[\mathbf{B}\,\mathbf{I}_n= \mathbf{B}.\]
Exemple 4.6 \[\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot a+ 0\cdot c & 1\cdot b + 0 \cdot d \\ 0\cdot a+ 1\cdot c & 0 \cdot b + 1 \cdot d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}\]
Démonstration. (Proposition 4.1) Démontrons que \(\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A}\). L’autre preuve est semblable et est laissée en exercice.
Soit \(\mathbf{D} = \mathbf{I}_n.\) Posons \(\mathbf{C} = \mathbf{D} \mathbf{A}\). Alors \[c_{i,j} = \sum_{p = 1}^n d_{i,p} a_{p,j}.\] Puisque \(d_{i,p} = 0\) pour chaque \(p \neq i\) et que \(d_{i,i} = 1,\) il s’ensuit que \(c_{i,j} = d_{i,i} a_{i,j} = a_{i,j}.\) Autrement dit, l’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{C}\) est précisément l’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{A}\) pour tout \(1\leq i \leq n\) et \(1 \leq j \leq m\). Ainsi, \(\mathbf{C} = \mathbf{A}\), tel que désiré.
Exercices
Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix}\). Déterminez une matrice \(\mathbf{B}\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) telle que \[\mathbf{A} \mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{A} = \mathbf{I}_2.\]
Soient \(\mathbb{K}\) un corps et \(p, n\) des entiers positifs. Démontrez que si \(\mathbf{B} \in \mathbb{K}^{p\times n}\), alors \(\mathbf{B}\,\mathbf{I}_n = \mathbf{B}.\)
Solutions
\(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}\).
Soit \(\mathbf{D} = \mathbf{I}_n.\) Posons \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{D}\). Quelle valeur prend \(c_{i,j}\)?