3.5 Combinaison linéaire de colonnes

Soit le système donné par \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\), où \(\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix},\) \(\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\) et \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 7\\8 \end{bmatrix}.\)

D’après ce que nous avons vu à la dernière section, \(\mathbf{A}\mathbf{x}\) dénote l’uplet \(\begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 + 3x_3\\4x_1+5x_2+6x_3\end{bmatrix}.\)

En utilisant l’arithmétique des uplets, on obtient \[\begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 + 3x_3\\4x_1+5x_2+6x_3\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix} 1\\4\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2\\5\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 3\\6\end{bmatrix}.\]

C’est un exemple de ce que l’on nomme une combinaison linéaire des uplets \(\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}\), et \(\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}\). (En général, une combinaison linéaire d’uplets \(\mathbf{t}^{(1)},\ldots, \mathbf{t}^{(k)}\) prend la forme \(a_1\mathbf{t}^{(1)}+a_2\mathbf{t}^{(2)}+\cdots +a_k\mathbf{t}^{(k)}\), où \(a_i\) est un scalaire pour chaque \(i= 1,\ldots,k\).)

La question de déterminer si \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) admet une solution peut être interprétée comme suit : est-ce que \(\mathbf{b}\) est une combinaison linéaire des colonnes de \(\mathbf{A}\)?

En général, si \(\mathbf{A}= [\mathbf{A}_1 \cdots \mathbf{A}_n]\), où \(\mathbf{A}_i\) représente la \(i\)-ième colonne de \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}\) est l’uplet des variables, alors \[\mathbf{A}\mathbf{x} = x_1\mathbf{A}_1 + x_2\mathbf{A}_2 + \cdots + x_n \mathbf{A}_n.\] Résoudre \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) signifie trouver une combinaison linéaire de \(\mathbf{A}_1,\ldots,\mathbf{A}_n\) donnant \(\mathbf{b}\). Cette façon de visualiser les systèmes d’équations linéaires nous sera utile lorsque l’on parlera d’espaces vectoriels et d’approximation par les moindres carrés.

Exercices

1. Écrivez chacun des systèmes suivants en tant que combinaison linéaire d’uplets ayant \(x,y\) et \(z\) comme scalaires.

   1. \(\begin{bmatrix} x + 2y - z \\ y + z \\ 2x \end{bmatrix}\)
   2. \(\begin{bmatrix} 2z-y+x \\ x-y+z \\ y+2x\end{bmatrix}\)

Solutions

1. 1. \(x \begin{bmatrix} 1\\0 \\ 2\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2\\1 \\ 0\end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -1\\1 \\ 0\end{bmatrix}\)

   2. \(x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\)