2.5 Racine \(n\)-ième
2.5.1 Racine de l’unité
Soit \(n\) un entier positif. Considérons l’équation \[z^n = 1.\] Quelles sont les solutions de cette équation?
On peut réécrite cette équation sous la forme \[z^n - 1 = 0.\] Selon le théorème fondamental de l’algèbre, on peut factoriser \(z^n-1\) comme \[(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n),\] où \(z_1,\ldots, z_n \in \mathbb{C}\). Les nombres complexes \(z_1,\ldots,z_n\) sont tous des solutions de \(z^n = 1.\) Que sont les nombres complexes \(z_1,\ldots,z_n\)?
Soit \(\omega = \operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{n}}\right)\). Pour chaque \(k \in \{1,\ldots,n\}\), on prend \(u_k = \omega^k\). Notons que \(u_1,\ldots, u_n\) sont tous distincts. D’après le théorème 2.1, \[\begin{align*} u_i^n & = (\omega^i)^n \\ & = \left(\operatorname{cis}\left({\frac{2k\pi}{n}}\right)\right)^n \\ & = \operatorname{cis}\left({n\frac{2k\pi}{n}}\right) \\ & = \operatorname{cis}\left({2k\pi}\right) \\ & = 1. \end{align*}\] Donc, \(u_k\) est une solution de \(z^n = 1\) pour chaque \(k\in\{1,\ldots,n\}.\)
Les nombres complexes \(1, \omega, \omega^2,\ldots, \omega^{n-1}\) sont les racines \(n\)-ièmes de l’unité.
2.5.2 Obtention des racines \(n\)-ièmes
Soit \(u \neq 0\) un nombre complexe ayant comme forme polaire \(r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\). Supposons que l’on désire trouver toutes les solutions de \(z^n = u\). Chaque solution est appelé une racine \(n\)-ième de \(u\). (Lorsque \(n = 2\), nous avons les racines carrés. Lorsque \(n = 3\), nous avons les racines cubiques.)
Écrivons \(z = \tilde{z}r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right)\). Alors \(z^n = u\) devient \[\left(\tilde{z}r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right)\right)^n = u,\] ou \[\tilde{z}^n u = u.\] Puisque \(u \neq 0\), nous avons \[\tilde{z}^n = 1.\] Comme nous l’avons vu plus tôt, les solutions de \({\tilde{z}}^n = 1\) sont \(1, \omega, \omega^1,\ldots, \omega^{n-1}\), où \(\omega = \operatorname{cis}\left({\frac{2\pi}{n}}\right)\). Ainsi, les solutions de \(z^n = u\) sont \[r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right),\, r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right) \omega,\, r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right) \omega^2, \ldots, r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta}{n}}\right) \omega^{n-1}.\]
On peut aussi écrire cette liste sous la forme \(\displaystyle r^{\frac{1}{n}}\operatorname{cis}\left({\frac{\theta+2k\pi}{n}}\right)\), \(k = 0,\ldots, n-1\). Ce sont toutes les racines \(n\)-ièmes de \(r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\).
Exemple 2.13 Obtenons toutes les racines cubiques de \(-8\). La forme polaire de \(-8\) est \(8 \operatorname{cis}\left({\pi}\right)\). Ainsi, en applicant la liste générique donnée ci-dessus avec \(\theta = \pi\) et \(n = 3\), nous obtenons \[2\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{3}}\right),~ 2\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi+2\pi}{3}}\right),~ 2\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi+4\pi}{3}}\right).\] Une simplification donne \[2\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{3}}\right),~ 2\,\operatorname{cis}\left({\pi}\right),~ 2\,\operatorname{cis}\left({\frac{5\pi}{3}}\right).\] La conversion sous forme rectangulaire donne \[1+\sqrt{3}i,~ -2,~ 1-\sqrt{3}i.\]
Exercices
Déterminez toutes les racines carrés de \(17-14i\). Exprimez vos réponses sous forme rectangulaire, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.
Déterminez toutes les racines quatrièmes de \(-1\). Exprimez vos réponses sous forme rectangulaire, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.
Solutions
\(-4{,}4172+1{,}5847i\) et \(4{,}4172-1{,}5847i\).
\(0{,}7071 + 0{,}7071i\), \(-0{,}7071 + 0{,}7071i\), \(-0{,}7071 - 0{,}7071i\), \(0{,}7071 - 0{,}7071i\).