2.4 Forme polaire

On dit d’un nombre complexe $z$ écrit sous la forme $a + bi$, où $a,b \in \mathbb{R}$, qu’il est sous sa forme rectangulaire. S’il est écrit sous la forme $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ (souvent abrégé par $r\operatorname{cis}\left({\theta}\right)$), où $r = \left\lvert{z}\right\rvert$, on dit qu’il est sous sa forme polaire. La valeur de $\theta$ est appelé l’argument et est dénoté par $\operatorname{arg}\left({z}\right)$.

Notons que $r(\cos (\theta + 2k\pi) + i\sin (\theta + 2k\pi))$ représente le même nombre complexe pour chaque entier relatif $k$. Pour garantie l’unicité, il est d’usage de choisir $0 \leq \theta < 2\pi$. (Certaines références utilisent plutôt $-\pi \leq \theta < \pi$.) Par exemple, la forme polaire de $z = -2 +i$ est $\sqrt{5} \operatorname{cis}\left({2{,}6779\ldots}\right)$.

En pratique, la conversion de la forme rectangulaire à la forme polaire est souvent faite de façon approximative (même si la précision de l’approximation peut être choisie de manière arbitraire) à moins que les arguments soient des angles dont le sinus et le cosinus peuvent être calculés exactement; comme $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, etc.

2.4.1 De la forme rectangulaire à la forme polaire

Soit $z = a+bi$ un nombre complexe. Sa forme polaire est $r\operatorname{cis}\left({\theta}\right)$, où $r = |z|= \sqrt{a^2+b^2}$ et $0 \leq \theta < 2\pi$.

Considérons d’abord quelques cas spéciaux. Si $z = 0$, alors $r = 0$. Donc, $\theta$ peut prendre n’importe quelle valeur. Cependant, nous adoptons la convention que $\theta = 0$ dans un tel cas, à moins qu’il en soit indiqué autrement.

Supposons maintenant que $a = 0$. Dans ce cas, le module de $z$ est $r = |b|$ et $$\theta =\begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{si } b > 0 \\ \frac{3\pi}{2} & \text{autrement.} \end{cases}$$

Supposons finalement que $a \neq 0$. Soit $\alpha = \displaystyle\tan^{-1} \frac{|b|}{|a|}$. Le tableau suivant indique la valeur de l’argument $\theta$ en fonction des signes de $a$ et $b$ :

Cas	$\theta$
$a > 0,\, b \geq 0$	$\alpha$
$a < 0,\, b \geq 0$	$\pi - \alpha$
$a < 0,\, b < 0$	$\pi + \alpha$
$a > 0,\, b < 0$	$2\pi -\alpha$

Exemple 2.7 Afin de convertir $13 + 4i$ sous sa forme polaire, notons que sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux positives. Donc, sa forme polaire est $r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)$, où $r = \sqrt{ 13^2 + 4^2} = \sqrt{ 285 }$ et $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{13}$.

Exemple 2.8 Afin de convertir $-1 - 17i$ sous sa forme polaire, notons que sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux négatives. Donc, sa forme polaire est $r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)$, où $r = \sqrt{ (-1)^2 + (-17)^2} = \sqrt{ 290 }$ et $\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{|-17|}{|-1|} = \pi + \tan^{-1} 17$.

2.4.2 De la forme polaire à la forme rectangulaire

Soit $z = r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)$ un nombre complexe, où $r \geq 0$ et $0 \leq \theta < 2\pi$.

Afin de convertir $z$ sous sa forme rectangulaire, rappelons tout d’abord que $\operatorname{cis}\left({\theta}\right)$ est une abréviation pour $\cos \theta + i \sin \theta$. Donc, $$z = r (\cos \theta + i\sin \theta) = (r \cos \theta) + (r \sin \theta) i.$$

Nous avons donc $\mathfrak{Re}\left({z}\right) = r \cos \theta$ et $\mathfrak{Im}\left({z}\right) = r \sin \theta.$

Exemple 2.9 La forme rectangulaire de $3 \operatorname{cis}\left({\frac{3\pi}{2}}\right)$ est $3 \cos \frac{3\pi}{2} + 3\sin \frac{3\pi}{2} i = 0 + (-3)i = -3i$.

Exemple 2.10 La forme rectangulaire de $\sqrt{2} \operatorname{cis}\left({ \frac{3}{7} }\right)$ est $\sqrt{2} \cos \frac{3}{7} + \sqrt{2}\sin \frac{3}{7} i \approx 1{,}2863 + 0{,}5877 i.$

2.4.3 Multiplication et division sous forme polaire

La multiplication et la division de nombres complexes sont grandement simplifiés par l’utilisation de la forme polaire.

Soient $z = r_1 \operatorname{cis}\left({ \theta_1}\right)$ et $w = r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_2}\right)$ des nombres complexes sous forme polaire. Alors $$zw = r_1 r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_1 + \theta_2}\right),$$ et si $r_2 \neq 0,$ $$\frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2} \operatorname{cis}\left({\theta_1 - \theta_2}\right).$$

Le premier résultat peut se démontre en utilisant la formule du cosinus et du sinus d’une somme d’angles. Pour démontrer le second résultat, on réécrit $\displaystyle\frac{z}{w}$ sous la forme $\displaystyle\frac{z\overline{w}}{\left\lvert{w}\right\rvert^2}.$ Les détails sont laissés en exercice.

Notons que l’inverse de $r\operatorname{cis}\left({\theta}\right),$ où $r > 0,$ est donné par $$\frac{1}{r} \operatorname{cis}\left({-\theta}\right) = \frac{1}{r} \cos \theta - \frac{1}{r} \sin \theta$$ puisque $\cos \theta = \cos (-\theta)$ et $\sin (-\theta) = - \sin \theta.$

Exemple 2.11 Soit $z = \operatorname{cis}\left({\theta}\right)$ pour un certain $\theta$. Notons que $$z^2 = \operatorname{cis}\left({\theta + \theta}\right) = \operatorname{cis}\left({2\theta}\right).$$ Donc, l’argument est doublé mais le module demeure le même. De la même façons, on constate qu $$z^3 = zz^2 = \operatorname{cis}\left({\theta + 2\theta}\right) = \operatorname{cis}\left({3\theta}\right).$$ Qu’en serait-il de $z^{1000}$?

2.4.4 Formule de Moivre

Théorème 2.1 (Formule de Moivre) Soient $k$ un entier relatif et $z$ un nombre complexe donné sous forme polaire : $r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right).$ Alors $$z^k = r^k \operatorname{cis} (k\theta).$$

La formule de Moivre simplifie le calcul des puissances d’un nombre complexe en autant que l’on connaisse sa forme polaire. Par exemple, qu’est-ce que $z^{10}$ si $z = 1+i$?

Il n’y a rien de mal à calculer directement $z^{10}$, mais on peut simplifier la tâche en utilisant la formule de Moivre. Premièrement, nous devons d’abord convertir $z$ sous sa forme polaire. Notons que $r = \left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{2}$ et $\operatorname{arg}\left({z}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$. Donc, $z = \sqrt{2} \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{4}}\right).$ Alors, $$\begin{align*} z^{10} & = \sqrt{2}^{10}\operatorname{cis}\left({ 10 \cdot \frac{\pi}{4} }\right) \\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({\frac{5\pi}{2} }\right)\\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({2\pi + \frac{\pi}{2} }\right) \\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}}\right) \\ & = 32 i. \end{align*}$$

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé les identités $\cos (2k\pi + \theta) = \cos \theta$ et $\sin (2k\pi + \theta) = \sin \theta$ pour tout entier relatif $k$.

En général, si l’argument se retrouve à l’extérieur de l’intervalle $[0, 2\pi)$, il est commun de réduire la valeur à une valeur à l’intérieur de cet intervalle, comme nous l’avons fait ci-dessus.

Exemple 2.12 Soient $z = 4\, \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}}\right)$ et $w = 2\, \operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{3}}\right)$. Alors $$\begin{align*} \frac{z}{w} & = \frac{4}{2}\, \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}}\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ -\frac{5\pi}{6} }\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi }\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ \frac{7\pi}{6} }\right). \end{align*}$$

Exercices

1. Convertissez chacun des nombres suivants sous forme rectangulaire, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

   1. $\operatorname{cis}\left({\frac{3\pi}{2}}\right)$

   2. $\sqrt{3}\,\operatorname{cis}\left({\frac{5\pi}{6}}\right)$

   3. $2{,}5\,\operatorname{cis}\left({\frac{13}{5}}\right)$

2. Convertissez chacun des nombres suivants sous forme polaire. Donnez la valeur exacte de l’argument lorsque possible de la faire. Sinon, arrondissez les parties réels et imaginaires à quatre décimales après la virgule.

   1. $3$

   2. $3+4i$

   3. $3-4i$

   4. $-2+\sqrt{3}i$

   5. $2i$

3. Calculez $(\sqrt{3}-i)^{12}$.

4. Calculez $(-1+i)^{8}$.

5. Soient $z = r_1 \operatorname{cis}\left({\theta_1}\right)$ et $w = r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_2}\right)$ deux nombres complexes sous forme polaire. Démontrez que $$zw = r_1 r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_1 + \theta_2}\right),$$ et si $r_2 \neq 0$, que $$\frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2} \operatorname{cis}\left({\theta_1 - \theta_2}\right).$$

Solutions

1. 1. $-i$

   2. $-1{,}5+0{,}8660i$

   3. $-2{,}1422 + 1{,}2888 i$

2. 1. $3\,\operatorname{cis}\left({0}\right)$

   2. $5\,\operatorname{cis}\left({\arctan\left( \frac{4}{3}\right)}\right)\approx 5\,\operatorname{cis}\left({ 0{,}9273 }\right)$

   3. $5\,\operatorname{cis}\left({2\pi - \arctan\left( \frac{4}{3}\right)}\right) \approx 5\,\operatorname{cis}\left({5{,}3559}\right)$

   4. $\sqrt{7}\,\operatorname{cis}\left({\pi - \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right) \approx 2{,}6458\,\operatorname{cis}\left({ 2{,}4279 }\right)$

   5. $2\,\operatorname{cis}\left({ \frac{\pi}{2} }\right)$

3. $4096$

4. $16$

5. Le résultat est une conséquence des identités suivantes : $$(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1$$ et $$\begin{align*} \cos (\theta + \gamma) &= \cos \theta \cos \gamma - \sin \theta \sin \gamma\\ \cos (\theta - \gamma) &= \cos \theta \cos \gamma + \sin \theta \sin \gamma\\ \sin (\theta + \gamma) &= \sin \theta \cos \gamma + \cos \theta \sin \gamma\\ \sin (\theta - \gamma) &= \sin \theta \cos \gamma - \cos \theta \sin \gamma. \end{align*}$$