2.4 Forme polaire

On dit d’un nombre complexe \(z\) écrit sous la forme \(a + bi\), où \(a,b \in \mathbb{R}\), qu’il est sous sa forme rectangulaire. S’il est écrit sous la forme \(r(\cos \theta + i\sin \theta)\) (souvent abrégé par \(r\operatorname{cis}\left({\theta}\right)\)), où \(r = \left\lvert{z}\right\rvert\), on dit qu’il est sous sa forme polaire. La valeur de \(\theta\) est appelé l’argument et est dénoté par \(\operatorname{arg}\left({z}\right)\).

Notons que \(r(\cos (\theta + 2k\pi) + i\sin (\theta + 2k\pi))\) représente le même nombre complexe pour chaque entier relatif \(k\). Pour garantie l’unicité, il est d’usage de choisir \(0 \leq \theta < 2\pi\). (Certaines références utilisent plutôt \(-\pi \leq \theta < \pi\).) Par exemple, la forme polaire de \(z = -2 +i\) est \(\sqrt{5} \operatorname{cis}\left({2{,}6779\ldots}\right)\).

En pratique, la conversion de la forme rectangulaire à la forme polaire est souvent faite de façon approximative (même si la précision de l’approximation peut être choisie de manière arbitraire) à moins que les arguments soient des angles dont le sinus et le cosinus peuvent être calculés exactement; comme \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), etc.

2.4.1 De la forme rectangulaire à la forme polaire

Soit \(z = a+bi\) un nombre complexe. Sa forme polaire est \(r\operatorname{cis}\left({\theta}\right)\), où \(r = |z|= \sqrt{a^2+b^2}\) et \(0 \leq \theta < 2\pi\).

Considérons d’abord quelques cas spéciaux. Si \(z = 0\), alors \(r = 0\). Donc, \(\theta\) peut prendre n’importe quelle valeur. Cependant, nous adoptons la convention que \(\theta = 0\) dans un tel cas, à moins qu’il en soit indiqué autrement.

Supposons maintenant que \(a = 0\). Dans ce cas, le module de \(z\) est \(r = |b|\) et \[\theta =\begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{si } b > 0 \\ \frac{3\pi}{2} & \text{autrement.} \end{cases}\]

Supposons finalement que \(a \neq 0\). Soit \(\alpha = \displaystyle\tan^{-1} \frac{|b|}{|a|}\). Le tableau suivant indique la valeur de l’argument \(\theta\) en fonction des signes de \(a\) et \(b\) :

Cas \(\theta\)
\(a > 0,\, b \geq 0\) \(\alpha\)
\(a < 0,\, b \geq 0\) \(\pi - \alpha\)
\(a < 0,\, b < 0\) \(\pi + \alpha\)
\(a > 0,\, b < 0\) \(2\pi -\alpha\)

Exemple 2.7 Afin de convertir \(13 + 4i\) sous sa forme polaire, notons que sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux positives. Donc, sa forme polaire est \(r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\), où \(r = \sqrt{ 13^2 + 4^2} = \sqrt{ 285 }\) et \(\theta = \tan^{-1} \frac{4}{13}\).

Exemple 2.8 Afin de convertir \(-1 - 17i\) sous sa forme polaire, notons que sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux négatives. Donc, sa forme polaire est \(r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\), où \(r = \sqrt{ (-1)^2 + (-17)^2} = \sqrt{ 290 }\) et \(\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{|-17|}{|-1|} = \pi + \tan^{-1} 17\).

2.4.2 De la forme polaire à la forme rectangulaire

Soit \(z = r \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\) un nombre complexe, où \(r \geq 0\) et \(0 \leq \theta < 2\pi\).

Afin de convertir \(z\) sous sa forme rectangulaire, rappelons tout d’abord que \(\operatorname{cis}\left({\theta}\right)\) est une abréviation pour \(\cos \theta + i \sin \theta\). Donc, \[z = r (\cos \theta + i\sin \theta) = (r \cos \theta) + (r \sin \theta) i.\]

Nous avons donc \(\mathfrak{Re}\left({z}\right) = r \cos \theta\) et \(\mathfrak{Im}\left({z}\right) = r \sin \theta.\)

Exemple 2.9 La forme rectangulaire de \(3 \operatorname{cis}\left({\frac{3\pi}{2}}\right)\) est \(3 \cos \frac{3\pi}{2} + 3\sin \frac{3\pi}{2} i = 0 + (-3)i = -3i\).

Exemple 2.10 La forme rectangulaire de \(\sqrt{2} \operatorname{cis}\left({ \frac{3}{7} }\right)\) est \(\sqrt{2} \cos \frac{3}{7} + \sqrt{2}\sin \frac{3}{7} i \approx 1{,}2863 + 0{,}5877 i.\)

2.4.3 Multiplication et division sous forme polaire

La multiplication et la division de nombres complexes sont grandement simplifiés par l’utilisation de la forme polaire.

Soient \(z = r_1 \operatorname{cis}\left({ \theta_1}\right)\) et \(w = r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_2}\right)\) des nombres complexes sous forme polaire. Alors \[zw = r_1 r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_1 + \theta_2}\right),\] et si \(r_2 \neq 0,\) \[\frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2} \operatorname{cis}\left({\theta_1 - \theta_2}\right).\]

Le premier résultat peut se démontre en utilisant la formule du cosinus et du sinus d’une somme d’angles. Pour démontrer le second résultat, on réécrit \(\displaystyle\frac{z}{w}\) sous la forme \(\displaystyle\frac{z\overline{w}}{\left\lvert{w}\right\rvert^2}.\) Les détails sont laissés en exercice.

Notons que l’inverse de \(r\operatorname{cis}\left({\theta}\right),\) où \(r > 0,\) est donné par \[\frac{1}{r} \operatorname{cis}\left({-\theta}\right) = \frac{1}{r} \cos \theta - \frac{1}{r} \sin \theta\] puisque \(\cos \theta = \cos (-\theta)\) et \(\sin (-\theta) = - \sin \theta.\)

Exemple 2.11 Soit \(z = \operatorname{cis}\left({\theta}\right)\) pour un certain \(\theta\). Notons que \[z^2 = \operatorname{cis}\left({\theta + \theta}\right) = \operatorname{cis}\left({2\theta}\right).\] Donc, l’argument est doublé mais le module demeure le même. De la même façons, on constate qu \[z^3 = zz^2 = \operatorname{cis}\left({\theta + 2\theta}\right) = \operatorname{cis}\left({3\theta}\right).\] Qu’en serait-il de \(z^{1000}\)?

2.4.4 Formule de Moivre

Théorème 2.1 (Formule de Moivre) Soient \(k\) un entier relatif et \(z\) un nombre complexe donné sous forme polaire : \(r\, \operatorname{cis}\left({\theta}\right).\) Alors \[z^k = r^k \operatorname{cis} (k\theta).\]

La formule de Moivre simplifie le calcul des puissances d’un nombre complexe en autant que l’on connaisse sa forme polaire. Par exemple, qu’est-ce que \(z^{10}\) si \(z = 1+i\)?

Il n’y a rien de mal à calculer directement \(z^{10}\), mais on peut simplifier la tâche en utilisant la formule de Moivre. Premièrement, nous devons d’abord convertir \(z\) sous sa forme polaire. Notons que \(r = \left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{2}\) et \(\operatorname{arg}\left({z}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\). Donc, \(z = \sqrt{2} \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{4}}\right).\) Alors, \[\begin{align*} z^{10} & = \sqrt{2}^{10}\operatorname{cis}\left({ 10 \cdot \frac{\pi}{4} }\right) \\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({\frac{5\pi}{2} }\right)\\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({2\pi + \frac{\pi}{2} }\right) \\ & = 32\,\operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}}\right) \\ & = 32 i. \end{align*}\]

Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé les identités \(\cos (2k\pi + \theta) = \cos \theta\) et \(\sin (2k\pi + \theta) = \sin \theta\) pour tout entier relatif \(k\).

En général, si l’argument se retrouve à l’extérieur de l’intervalle \([0, 2\pi)\), il est commun de réduire la valeur à une valeur à l’intérieur de cet intervalle, comme nous l’avons fait ci-dessus.

Exemple 2.12 Soient \(z = 4\, \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}}\right)\) et \(w = 2\, \operatorname{cis}\left({\frac{4\pi}{3}}\right)\). Alors \[\begin{align*} \frac{z}{w} & = \frac{4}{2}\, \operatorname{cis}\left({\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}}\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ -\frac{5\pi}{6} }\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi }\right) \\ & = 2\, \operatorname{cis}\left({ \frac{7\pi}{6} }\right). \end{align*}\]

Exercices

  1. Convertissez chacun des nombres suivants sous forme rectangulaire, où les parties réelles et imaginaires sont arrondies à quatre décimales après la virgule.

    1. \(\operatorname{cis}\left({\frac{3\pi}{2}}\right)\)

    2. \(\sqrt{3}\,\operatorname{cis}\left({\frac{5\pi}{6}}\right)\)

    3. \(2{,}5\,\operatorname{cis}\left({\frac{13}{5}}\right)\)

  2. Convertissez chacun des nombres suivants sous forme polaire. Donnez la valeur exacte de l’argument lorsque possible de la faire. Sinon, arrondissez les parties réels et imaginaires à quatre décimales après la virgule.

    1. \(3\)

    2. \(3+4i\)

    3. \(3-4i\)

    4. \(-2+\sqrt{3}i\)

    5. \(2i\)

  3. Calculez \((\sqrt{3}-i)^{12}\).

  4. Calculez \((-1+i)^{8}\).

  5. Soient \(z = r_1 \operatorname{cis}\left({\theta_1}\right)\) et \(w = r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_2}\right)\) deux nombres complexes sous forme polaire. Démontrez que \[zw = r_1 r_2 \operatorname{cis}\left({\theta_1 + \theta_2}\right),\] et si \(r_2 \neq 0\), que \[\frac{z}{w} = \frac{r_1}{r_2} \operatorname{cis}\left({\theta_1 - \theta_2}\right).\]

Solutions

    1. \(-i\)

    2. \(-1{,}5+0{,}8660i\)

    3. \(-2{,}1422 + 1{,}2888 i\)

    1. \(3\,\operatorname{cis}\left({0}\right)\)

    2. \(5\,\operatorname{cis}\left({\arctan\left( \frac{4}{3}\right)}\right)\approx 5\,\operatorname{cis}\left({ 0{,}9273 }\right)\)

    3. \(5\,\operatorname{cis}\left({2\pi - \arctan\left( \frac{4}{3}\right)}\right) \approx 5\,\operatorname{cis}\left({5{,}3559}\right)\)

    4. \(\sqrt{7}\,\operatorname{cis}\left({\pi - \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right) \approx 2{,}6458\,\operatorname{cis}\left({ 2{,}4279 }\right)\)

    5. \(2\,\operatorname{cis}\left({ \frac{\pi}{2} }\right)\)

  3. \(4096\)

  4. \(16\)

  5. Le résultat est une conséquence des identités suivantes : \[(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1\] et \[\begin{align*} \cos (\theta + \gamma) &= \cos \theta \cos \gamma - \sin \theta \sin \gamma\\ \cos (\theta - \gamma) &= \cos \theta \cos \gamma + \sin \theta \sin \gamma\\ \sin (\theta + \gamma) &= \sin \theta \cos \gamma + \cos \theta \sin \gamma\\ \sin (\theta - \gamma) &= \sin \theta \cos \gamma - \cos \theta \sin \gamma. \end{align*}\]