3.6 Matrice augmentée associée à un système

Considérons le système d’équations linéaires suivant : \[\begin{align*} 2x_1 - x_2 & = 0 \\ -x_1 + x_2 - 2x_3 & = 4\\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2 \\ \end{align*}\]

Nous pouvons utiliser une seule matrice afin de capturer toute l’information requise afin de le résoudre; on peut représenter le système sous la forme \[\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right],\] en sachant que la première colonne correspond à la variable \(x_1\) et que les éléments sont les coefficients de \(x_1,\) que la deuxième colonne correspond à la variable \(x_2,\) la troisième colonne à la variable \(x_3,\) et que la quatrième colonne correspond au 3-uplet des constantes. (La ligne verticale séparant les 3 premières colonnes de la quatrième colonne n’est présente que pour des raisons esthétiques et est en fait optionnelle.)

La matrice représentant le système dans son entièreté est appelée la matrice augmentée associée au système; elle est formée en combinant la matrice des coefficients et l’uplet des constantes du système, comme suit : \([ \mathbf{A} \mid \mathbf{b} ]\)

3.6.1 Opérations élémentaires sur les lignes

Nous avons introduit les opérations élémentaires pour la résolution d’équations linéaires. Si nous décidons d’utiliser la matrice augmentée, les opérations élémentaires deviennent des opérations élémentaires sur les lignes:

  1. Multiplier une ligne par une constante non nulle.

  2. Ajouter un multiple d’une ligne à une autre ligne.

  3. Échanger deux lignes.

Exemple 3.4 Soit \(\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\).

  • En multipliant la deuxième ligne par \(2\), ce que l’on dénote par \(L_2 \leftarrow 2 L_2\), on obtient la matrice \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ -2 & 2 & 2 & 4 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\).

  • En ajoutant le multiple de la troisième ligne par \(-1\) à la première ligne, ce que l’on dénote par \(L_1 \leftarrow L_1 + (-1)L_3\) (ou simplement par \(L_1 \leftarrow L_1 -L_3\)), on obtient la matrice \(\begin{bmatrix} 1-3 & 0-(-2) & 2-1 & 3-0 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\), ou encore \(\begin{bmatrix} -2 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\).

  • En échangeant la première et la troisième ligne, ce que l’on dénote par \(L_1 \leftrightarrow L_3\), on obtient la matrice \(\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\).

3.6.2 Résolution d’un système en utilisant la matrice augmentée associée

Voyons maintenant comment la résolution d’un système, en utilisant les opérations élémentaires, correspond à une transformation de la matrice augmentée qui utilise les opérations élémentaires sur les lignes.

Au départ, le système et la matrice augmentée correspondante sont : \[\begin{align*} 2x_1 - x_2 & = 0 \\ -x_1 + x_2 - 2x_3 & = 4\\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2 \\ \end{align*}\] et \[\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right],\] respectivement.

La multiplication de la première équation par \(\frac{1}{2}\) correspond à la multiplication de la première ligne de la matrice par \(\frac{1}{2}\), \(L_1 \leftarrow \frac{1}{2} L_1\). Cette opération donne : \[\begin{align*} x_1 - \frac{1}{2}x_2 & = 0 \\ -x_1 + x_2 - 2x_3 & = 4\\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2 \\ \end{align*}\] et \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right].\]

Ensuite, on ajoute la première équation à la seconde équation. Ceci correspond à l’addition de la première ligne de la matrice à la seconde ligne de la matrice, ou \(L_2 \leftarrow L_2 + L_1\). On obtient \[\begin{align*} x_1 - \frac{1}{2}x_2 & = 0 \\ \frac{1}{2}x_2 - 2x_3 & = 4\\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2 \\ \end{align*}\] et \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right].\]

On ajoute ensuite le produit de la première équation par \(-3\) à la troisième équation. Ceci correspond à ajouter le produit de la première ligne de la matrice par \(-3\) à la troisième ligne de la matrice, \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1\). Le résultat est \[\begin{align*} x_1 - \frac{1}{2}x_2 & = 0 \\ \frac{1}{2}x_2 - 2x_3 & = 4\\ - \frac{1}{2}x_2 + x_3 & = -2 \\ \end{align*}\] et \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 & 4 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -2 \end{array}\right].\]

Nous continuons en ajoutant la deuxième équation à la troisième équation. Ceci correspond à l’addition de la deuxième ligne de la matrice à la troisième ligne de la matrice, ou \(L_3 \leftarrow L_3 + L_2\). On obtient \[\begin{align*} x_1 - \frac{1}{2}x_2 & = 0 \\ \frac{1}{2}x_2 - 2x_3 & = 4\\ -x_3 & = 2 \\ \end{align*}\] et \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right].\]

Notons que la troisième ligne donne \(x_3 = -2\). Dans ce cas, on déduit de la seconde équation que \(x_2 = 0\), et de la première que \(x_1 = 0\). Nous avons obtenu l’unique solution du système.

Cependant, nous pouvons aussi décider de continuer ce procédé en multipliant la troisième équation par \(-1\). Ceci correspond à la multiplication de la troisième ligne de la matrice par \(-1\), \(L_3 \leftarrow -L_3.\) La matrice ainsi obtenue est \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].\] (Quel est le système d’équations correspondant?)

Après l’application de \(L_2 \leftarrow L_2 - 2 L_3\), on obtient \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].\]

L’application de \(L_1 \leftarrow L_1 + L_2\) donne \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].\]

Finalement, l’application de \(L_2 \leftarrow 2 L_2\) donne \[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].\]

Cette matrice finale correspond au système de trois équations linéaires dont les trois premières colonnes représentent les coefficients des variables \(x_1,x_2\) et \(x_3\), respectivement. La dernière colonne est l’uplet des constantes des équations. Ainsi, la matrice représente le système \[\begin{align*} x_1 & = 0 \\ x_2 & = 0 \\ x_3 & = -2 \end{align*}\] duquel on peut lire directement la solution.

Notons que la matrice des coefficients du système réduit n’a que des 1 sur sa diagonale principale. Tous les autres éléments sont nuls. Une matrice carré de cette forme est une matrice identité.

En résumé, on résoud un système d’équations linéaires en appliquant une suite d’opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée associée, jusqu’à ce que l’on obtienne une matrice ressemblant à la matrice identité.

Ce n’est pas toujours possible, mais nous pouvons toujours réduire la matrice à une forme spéciale qui nous indique les solutions sans avoir à effectuer de calculs supplémentaires.

Finalement, si \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) sont des matrices que l’on peut transformer de l’une à l’autre en n’utilisant que des opérations élémentaires sur les lignes, on dit de \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) qu’elles sont équivalentes.

Exercices

  1. Écrivez la matrice augmentée associée à chacun des systèmes suivants.

    1. \(\begin{array}{r} x - y = 1 \\ 2x + y = 5 \end{array}\)

    2. \(\begin{array}{r} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \\ x + 2 y - 2z = 1 \end{array}\)

  2. Qu’obtient-on après avoir appliqué \(L_2 \leftarrow L_2 + 2 L_1\) à \(\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}\)?

Solutions

    1. \(\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{array} \right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & 1 \end{array} \right]\)
  2. \(\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix}\)