7.1 La magie des puissances de matrices

Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -2\\ 6 & -2 \end{bmatrix}\). Soit \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}\). Nous allons évaluer les produits suivants :

  • \(\mathbf{A}\mathbf{x}\)

  • \(\mathbf{A}^2\mathbf{x}\)

  • \(\mathbf{A}^{1000}\mathbf{x}\)

Les deux premiers calculs peuvent s’effectuer sans grande difficulté. Cependant, le calcul direct de \(\mathbf{A}^{1000}\mathbf{x}\) nécessitera beaucoup trop de travail, plus particulièrement si on le fait à la main. Existe-t-il un raccourci?

Notons que \[\mathbf{A}\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 & -2\\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 - 6\\12 -6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 6\end{bmatrix}.\]

Mais \(\begin{bmatrix} 4\\ 6\end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 2\\ 3\end{bmatrix} = 2\mathbf{x}\)! La multiplication de \(\mathbf{x}\) à gauche par \(\mathbf{A}\) est équivalente à doublant \(\mathbf{x}\). Ainsi, \[\begin{align*} \mathbf{A}^2\mathbf{x} & = \mathbf{A}(\mathbf{A}\mathbf{x}) \\ & = \mathbf{A}(2\mathbf{x}) \\ & = 2(\mathbf{A}\mathbf{x}) \\ & = 2(2\mathbf{x}) \\ & = 4\mathbf{x} =\begin{bmatrix} 8 \\12\end{bmatrix}. \end{align*}\] En général, \(\mathbf{A}^k\mathbf{x} = 2^k\mathbf{x},\) d’où \(\mathbf{A}^{1000}\mathbf{x} = 2^{1000} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}.\)

Cependant, cette méthode échoue pour \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\) puisque \(\mathbf{A}\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3\\4\end{bmatrix}\) n’est pas un multiple scalaire de \(\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}\).

Heureusement, il y a moyen d’éviter ce contretemps. Soient \(\mathbf{P} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\). On constate facilement que \(\mathbf{P}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{bmatrix}\). Il est également possible de vérifier que \(\mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}\).

Nous obtenons alors \[\begin{align*} \mathbf{A}^2 & = (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1})(\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}) \\ & = \mathbf{P}\mathbf{D}(\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} \\ & = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{I}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} \\ & = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} \\ & = \mathbf{P} \mathbf{D}^2 \mathbf{P}^{-1}, \end{align*}\] et \[\begin{align*} \mathbf{A}^3 & = \mathbf{A}\mathbf{A}^2 \\ & = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P}\mathbf{D}^2\mathbf{P}^{-1} \\ & = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{D}^2\mathbf{P}^{-1} \\ & = \mathbf{P} \mathbf{D}^3 \mathbf{P}^{-1}. \end{align*}\] En général, nous avons \(\mathbf{A}^k = \mathbf{P} \mathbf{D}^k \mathbf{P}^{-1}.\)

Puisque \(\mathbf{D}\) est une matrice diagonale, \(\mathbf{D}^k\) est obtenue de \(\mathbf{D}\) en élevant chaque élément sur la diagonale de \(\mathbf{D}\) à la \(k\)-ième puissance. Cela rend le calcul de \(\mathbf{A}^k\) très facile. En particulier, \[\mathbf{A}^{1000} = \mathbf{P} \begin{bmatrix} 2^{1000} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\mathbf{P}^{-1}.\]

Un mystère demeure, toutefois. Comment obtient-on les matrices \(\mathbf{P}\) et \(\mathbf{D}\)? La réponse à cette question nous mènera aux valeurs propres et aux vecteurs propres.

Exercices

  1. Soit \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -2\\ 6 & -2 \end{bmatrix}\).

    1. Calculer \(\mathbf{A}^{10000} \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}\).

    2. Calculer \(\mathbf{A}^{10} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}\).

Solutions

    1. Notons que \(\mathbf{A}\begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}.\) Donc, la réponse est \(1^{100000}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.\)

    2. \(\begin{bmatrix} 2^{12} - 3 \\ 6(2^{10}-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4093 \\ 6138 \end{bmatrix}\)