1.4 Corps fini dont l’ordre est la puissance d’un nombre premier
Pour un nombre premier \(p,\) on peut construire un corps \(GF(p)\) ayant \(p\) éléments comme suit :
Les éléments du corps sont \(0, 1,\ldots, p-1.\)
La somme \(a+b\) de deux éléments \(a, b \in GF(p)\) est donné par le reste de la somme des entiers \(a\) et \(b,\) divisée par \(p.\) Par exemple, dans \(GF(7),\) \(6+4 = 3\) puisque la somme des entiers 6 et 4 est 10, et que le reste de 10 lorsque divisé par 7 est 3.
Le produit \(a\cdot b\) (ou tout simplement \(ab\)) de deux éléments \(a, b \in GF(p)\) est donné par le reste du produit des entiers \(a\) et \(b,\) divisé par \(p.\) Par exemple, dans \(GF(5),\) \(3\cdot 2 = 1\) puisque le produit des entiers 3 et 2 est 6, ce qui laisse un reste de 1 lorsque divisé par 5.
Exemple 1.8 Dans \(GF(2),\) les seuls éléments sont 0 et 1. La multiplication est la multiplication normale des nombres et l’addition est presque la même operation que l’addition normale des nombres, avec l’exception notable que \(1+1 = 0.\) L’élément 1 est donc son propre opposé dans \(GF(2).\)
Exemple 1.9 La table de multiplication de \(GF(5)\) est donnée par :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
S’il n’est pas trop difficile de constater que les opposés existent dans \(GF(p),\) l’existence d’inverses découle du résultat de la théorie des nombres suivant :
Théorème 1.1 Soit \(p\) un nombre premier. Si \(a \in \{1,\ldots,p-1\},\) alors il existe \(b \in \{1,\ldots,p-1\}\) pour lequel \(ab\) donne un reste de \(1\) lorsque divisé par \(p.\)
Remarque. Les corps finis ayant \(p^k\) éléments, où \(p\) est un nombre premier et \(k\) est un entier positif, existent. Cependant, leurs constructions dépasse le niveau de cet ouvrage.
Exercices
Construisez la table de multiplication de \(GF(3)\).
Démontrez le théorème 1.1.
Solutions
Le tableau suivant donne la table de multiplication de \(GF(3)\) :
0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 Notons que si \(d \in \{1,\ldots,p-1\},\) alors \(ad\) n’est pas divisible par \(p,\) ce dernier étant primer. Le quotient de \(ad\) par \(p\) n’est donc pas un entier.
Soient \(c, d \in \{1,\ldots,p-1\}\), où \(c < d.\) Si \(ac\) et \(ad\) donnent le même reste lorsque divisés par \(p,\) alors \(a(d-c)\) est divisible par \(p.\) Ceci est impossible car \(p\) est un nombre premier et \(a\) et \(d-c\) sont des éléments de \(\{1,\ldots,p-1\}.\) Ainsi, \(a,2a,\ldots,a(p-1)\) donne \(p-1\) restes distincts et non nuls, lorsqu’ils sont divisés par \(p.\) Puisqu’il y a exactement \(p-1\) tels restes, il doit y avoir un élément parmi \(a,2a,\ldots,a(p-1)\) qui donne le reste recherché lorsque divisé par \(p.\)