3.3 Opérations élémentaires
Dans la section précédente, nous avons résolu le système suivant par substitution : \[\begin{align*} 2x_1 - x_2 & = 0 && (\text{A})\\ -x_1 + x_2 - 2x_3 & = 4 && (\text{B}) \\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2. && (\text{C}) \end{align*}\] Rappelons que l’on utilise \((\text{A})\) afin d’obtenir \(x_1 = \frac{1}{2}x_2\). Chaque apparition de \(x_1\) dans \((\text{B})\) et \((\text{C})\) est ensuite remplacée par \(\frac{1}{2}x_2\), ce qui nous donne le système suivant : \[\begin{align*} x_1 & = \frac{1}{2}x_2 \\ \frac{1}{2} x_2 - 2x_3 & = 4 \\ - \frac{1}{2}x_2 + x_3 & = -2, \\ \end{align*}\] que l’on peut réécrire sous la forme \[\begin{align*} x_1 - \frac{1}{2}x_2 & = 0 && (\text{D}) \\ \frac{1}{2} x_2 - 2x_3 & = 4 && (\text{E}) \\ - \frac{1}{2}x_2 + x_3 & = -2. && (\text{F}) \\ \end{align*}\] Voyons maintenant comme le même résultat peut être obtenu de façon différente. Notons que l’on peut obtenir \((\text{D})\) en multipliant chaque côté de \((\text{A})\) par le scalaire \(\frac{1}{2}\). Nous utilisons la notation \((\text{D}) = \frac{1}{2} \times (\text{A})\) pour dénoter cette opération.
On obtient \((\text{E})\) en multipliant de part et d’autre de \((\text{A})\) par \(\frac{1}{2}\), et en additionnant le résultat à \((\text{B})\). On utilise la notation \((\text{E}) = (\text{B}) + \frac{1}{2} \times (\text{A})\) pour dénoter cette opération.
De la même façon, \((\text{F}) = (\text{C}) - \frac{3}{2} \times (\text{A})\).
Le système composé par \((\text{D}), (\text{E})\) et \((\text{F})\) est équivalent au système original dans le sens où toutes les solutions de ce système sont également une solution du système original, et vice versa. Cela signifie que les opérations effectuées ne créent pas et ne perdent pas de solutions en cours de route. Ces opérations sont en fait réversibles.
Les types d’opérations utilisées dans l’exemple qui précède sont suffisantes pour résoudre tout système d’équations linéaires défini sur un corps. Plus précisément, les opérations élémentaires sont:
La multiplication de chaque côtés d’une équation par la même constante non nulle.
L’addition du produit d’une équation par une constante à une autre équation (on remplace cette dernière par le résultat de l’opération élémentaire)
L’échange des positions de deux équations.
La troisième opération n’est pas vraiment nécessaire (on ne la retrouve pas dans l’exemple ci-dessus); cependant, il est utile de l’avoir à la portée de la main lorsque l’on utilise des matrices afin de résoudre un système d’équations linéaires, comme nous le verrons bientôt.
Exercices
Utilisez les opérations élémentaires afin de transformer \[\begin{align*} x - y & = 1 \\ 2x + y & = 5 \end{align*}\] en \[\begin{align*} 3x & = 6 \\ x - y & = 1. \end{align*}\]
Utilisez les opérations élémentaires afin de transformer \[\begin{align*} x - y + z & = 1 \\ 2x + y - z & = 2 \\ -x + 2 y - 2z & = -1 \end{align*}\] en \[\begin{align*} x - y + z & = 1 \\ x + 2 y - 2z & = 1 \\ y - z & = 0 \end{align*}\]
Solutions
Nous commençons par ajouter la première équation à la deuxième équation, modifiant ainsi cette dernière. Nous échangeons ensuite les positions de deux équations.
Nous commençons par ajouter le produit de la première équation par \(-1\) à la deuxième équation, modifiant ainsi cette dernière. On ajoute ensuite la première équation à la troisième, modifiant ainsi cette dernière.