2.2 Arithmétique

L’addition et la multiplication des nombres complexes suivent les règles normales de l’arithmétique pour autant qu’on les traite comme des polynômes en $i,$ et sachant que $i^2$ peut toujours être réduire à $-1.$

Dans ce qui suit, $z = a+bi$ et $w = c+di$ sont des nombres complexes où $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

2.2.1 Addition et multiplication

L’addition de nombres complexes est donnée par $$z+w = (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.$$

La multiplication se calcule de la manière suivante : $$\begin{align*} z w & = (a+bi)(c+di) \\ & = a(c+di)+bi(c+di) \\ & = ac + adi + bci + bdi^2 \\ & = ac + adi + bci - bd \\ & = (ac-bd) + (ad+bc)i. \end{align*}$$

Exemple 2.2 L’addition est illustré dans les exemples suivants :

1. $(1+2i) + (-2+i) = -1 + 3i$
2. $i + (3+i) = 3 + 2i$

Exemple 2.3 $$\begin{align*} (1+2i) (-2+i) & = 1(-2+i) + 2i(-2+i)\\ & = -2 + i + (-4)i - 2 \\ & = (-4) + (-3)i. \end{align*}$$ Par soucis de simplicité, nous écrivons simplement $-4-3i.$

2.2.2 Soustraction et division

Maintenant que l’addition et la multiplication des nombres complexes ont été définis, il est possible de montrer que les nombres complexes forment un corps. Plusieurs des propriétés sont faciles à démontrer. Nous montrons ici ce que sont les opposés et les inverses des nombres complexes. Cette analyse nous permettra de déduire la soustraction et la division des nombres complexes.

Dans ce qui suit, $z = a+bi$ et $w = c+di$ sont des nombres complexes où $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

L’opposé de $z$, dénoté par $-z$, est $(-a)+(-b)i$, ou plus simplement, $-a-bi.$ Par exemple, $-(1+2i) = -1-2i.$ Évidemment, $z + (-z) = 0$ puisque $$\begin{align*} (a +bi) + (-a-bi) & = (a-a) + (b-b)i \\ & = 0 + 0i = 0. \end{align*}$$

La soustraction est ensuite définie de la façon suivante : $$z-w = z + (-w).$$ Par exemple, $$\begin{align*} (2+i) - (1+i) & = (2+i) + ((-1) + (-1)i) \\ & = 1 \end{align*}$$ puisque l’opposé de $1+i$ est $(-1) + (-1)i$. Une fois la définition de la soustraction bien comprise, nous pouvons plus simplement écrire : $$(2+i) - (1+i) = 2+i - 1 - i = 1.$$

Supposons que $z \neq 0$. Existe-t-il un inverse de $z$? Si oui, quel est-il?

Notons que $z \neq 0$ implique que l’on ne peut avoir $a$ et $b$ tous deux égaux à $0$. Vérifions s’il est possible de trouver des nombres réels $c$ et $d$ tels que $z w = 1$ ou, de façon équivalente, $$(ac-bd) + (ad+bc)i = 1.$$

Puisque le côté droit de l’égalité est un nombre réel, la partie imaginaire du côté gauche doit être nulle : $$ad+bc = 0.$$ Ceci donne alors $$ac-bd = 1.$$ Notons que $c = \frac{a}{a^2+b^2} \text{ et } d = -\frac{b}{a^2+b^2}$ satisfont aux deux équations ci-dessus. (Obtenues en résolvant pour $c$ et $d$ en terme de $a$ et $b$. Les détails sont laissés en exercice.)

En effet, $$\begin{align*} ad + bc & = a\cdot\left(-\frac{b}{a^2+b^2}\right) + b\cdot \frac{a}{a^2+b^2} \\ & = -\frac{ab}{a^2+b^2} +\frac{ab}{a^2+b^2} = 0 \end{align*}$$ et $$\begin{align*} ac - bd & = a\cdot\frac{a}{a^2+b^2} + -b\cdot\left(- \frac{a}{a^2+b^2}\right) \\ & = \frac{a^2}{a^2+b^2} + \frac{b^2}{a^2+b^2} \\ & = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1. \end{align*}$$

Puisque $a$,$b$ ne sont pas tous deux égaux à $0$, $a^2+b^2 \neq 0$ et donc $c$ et $d$ sont des nombres réels bien définis. Donc, l’inverse de $z$ est $$z^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2} i.$$

La division de $z$ par $w$, dénotée par $\displaystyle\frac{z}{w}$ ou $z/w$, est obtenue en multipliant $z$ par l’inverse de $w,$ c’est-à-dire $$\frac{z}{w} = z w^{-1}.$$

Exemple 2.4 Notons que $i (-i) = - i^2 = - (-1) = 1$. Donc, $i^{-1} = -i$.

Exemple 2.5 Quel est l’inverse de $1-2i$? En utilisant la formule précédente avec $a = 1$ et $b = -2$, on obtient $$\begin{align*} (1-2i)^{-1} & = \frac{1}{1^2+(-2)^2} - \frac{-2}{1^2+(-2)^2} i \\ & = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i. \end{align*}$$ On peut vérifier que $(1-2i)\left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i\right)= 1$.

Exemple 2.6 Quel est $\displaystyle\frac{i}{1+i}$?

Trouvons d’abord l’inverse de $1+i$. En utilisant la formule pour l’inverse, on obtient $(1+i)^{-1} = \frac{1}{2}- \frac{1}{2}i$. Donc, $$\begin{align*} \frac{i}{1+i} & = i (1+i)^{-1} \\ &= i \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) \\ &= \frac{1}{2}i - \frac{1}{2} i^2 \\ &= \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \end{align*}$$

Exercices

1. Soient $z = 2i$ et $w = -2+i$. Évaluez les expressions suivantes, et exprimez vos réponses sous la forme $a+bi$, où $a,b\in \mathbb{R}$.

   1. $z + i w$

   2. $z w$

   3. $z^3$

2. Soient $z = 1-2i$ et $w = -2+i$. Évaluez les expressions suivantes, et exprimez vos réponses sous la forme $a+bi$, où $a,b\in \mathbb{R}$.

   1. $z - w$

   2. $\displaystyle\frac{z}{w}$

Solutions

1. 1. $-1$

   2. $-2-4i$

   3. $-8i$

2. 1. $3-3i$

   2. $-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$