3.2 Méthode de la substitution
Nous avons étudié la résolution d’un système dans des cas particuliers. Nous étudions maintenant le cas général. L’idée est simple: on cherche à réduire un système général sous une forme qui est plus facile à résoudre, c’est-à-dire un système à une variable ou un système à une équation. Comment s’y prend-on exactement pour accomplir une telle tâche?
Considérons le système suivant sur \(\mathbb{Q}:\) \[\begin{align*} 2x_1 - x_2 & = 0 \\ -x_1 + x_2 - 2x_3 & = 4 \\ 3x_1 - 2x_2 + x_3 & = -2. \end{align*}\]
La première équation est équivalente à \(x_1 = \frac{1}{2}x_2\). Si nous connaissons la valeur de \(x_2\), nous connaissons donc également la valeur de \(x_1\). On peut donc remplacer chaque instance de \(x_1\) par \(\frac{1}{2}x_{2}\).
On effectue cette substitution dans la deuxième et troisième équation afin d’obtenir \[\begin{align*} -\frac{1}{2}x_2 + x_2 - 2x_3 & = 4 \\ \frac{3}{2}x_2 - 2x_2 + x_3 & = -2, \\ \end{align*}\] ce qui, par simplification, donne \[\begin{align*} \frac{1}{2}x_2 - 2x_3 & = 4 && (\text{A}) \\ -\frac{1}{2}x_2 + x_3 & = -2 && (\text{B}) \\ \end{align*}\]
Ces deux équations forment un système contenant seulement 2 variables: \(x_2\) et \(x_3\). L’obtention des solutions de ce système nous donnera les solutions du système original, en utilisant \(x_1 = \frac{1}{2}x_2\). Nous avons réduit le problème original à un problème plus simple, un système de deux équations à deux inconnue.
Nous pouvons continuer ainsi, en utilisant \((\text{A})\) pour exprimer \(x_2\) en terme de \(x_3\) et en remplaçant \(x_2\) dans \((\text{B})\). Cependant, nous pouvons également prendre le raccourci suivant: le terme \(\frac{1}{2}x_2\) apparaît dans \((\text{A})\) et dans \((\text{B})\). C’est ce dernier que l’on réécrit en terme de \(x_{3}\). De \((\text{A})\), on obtient \(\frac{1}{2}x_2 = 4 + 2x_3\). En combinant avec \((\text{B})\), on obtient \(-(4+2x_3) + x_3 = -2\), d’où \(-x_3 = 2\). Ainsi, on doit avoir \(x_3 = -2\), ce qui implique que \(x_2 = 0\), et donc que \(x_1 = 0\).
Sans ce raccourci, nous devons premièrement réécrire \((\text{A})\) sous la forme \(x_2 = 8 + 4x_3\), pour ensuite substituer \(x_2\) par \(8+4x_3\) dans \((\text{B})\) afin d’obtenir \(-\frac{1}{2}(8+ 4x_3) + x_3 = -2\). La simplification de cette dernière équation donne \(x_3 = -2\), comme au préalable.
L’exemple précédent illustre la méthode de la substitution. La recette générale est simple: Supposons que le système ait plus d’une variable et plus d’une équation. On prend une des équations et on la ré-écrit de façon à ce qu’une des variables soit exprimée en terme des autres variables, c’est-à-dire que la variable en question est la seule du côté gauche de l’équation. Appelons le côté droit de cette équation \(R\). Alors, pour chacune des autres équations du système, on remplace chaque apparition de la variable par \(R\). Après simplification, on obtient un système ayant au moins une équation de moins et une variable de moins. Le procédé est répété jusqu’à l’obtention d’un système pouvant aisément être résolu.
Exercices
Déterminez toutes les solutions rationnelles de chacun des systèmes suivants :
\(\begin{array}{r} 2x + y = 3 \\ 3x - y = 2 \\ \end{array}\)
\(\begin{array}{r} 2x + y - z = 0 \\ -x - y + z = 1 \\ \end{array}\)
Est-il possible qu’un système d’équations linéaires ayant plus de variables que d’équations n’admet aucune solution?
Solutions
\(x = 1\), \(y = 1\) est la seule solution.
Toutes les solutions sont données par \(x = 1\), \(y = -2+z\), \(z\) n’importe quel nombre rationnel.
- Oui. Par exemple, \[\begin{align*} x + y + z & = 0 \\ x + y + z & = 1 \end{align*}\]