8.2 Noyau d’une application linéaire

Soit \(T:V\rightarrow W\) une application linéaire où \(V\) et \(W\) sont des espaces vectoriels à scalaires dans un corps \(\mathbb{K}.\) Le noyau de \(T,\) dénoté par \(\ker(T),\) est défini par \[\ker(T) = \{ \mathbf{v} \in V \,:\,T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W\}.\]

Exemple 8.3 Soit \(T\) donnée par \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{v},\) où \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}.\) Par définition, le noyau de \(T\) est l’ensemble des \(\mathbf{v}\) tels que \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}.\) Mais \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\) précisément lorsque \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{0}.\) Ainsi, \(\ker(T) = {\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})},\) le noyau de \(\mathbf{A}.\)

Exemple 8.4 Soit \(T:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^2\) une application linéaire définie par \(T(ax^2 + bx + c) = \begin{bmatrix} a+3c \\ a-c\end{bmatrix}.\) Le noyau de \(T\) est l’ensemble des polynômes \(ax^2+bx+c\) tels que \(\begin{bmatrix} a+3c \\a - c\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}.\) La solution de ce système donne \(a = c = 0.\) Donc, \(\ker(T) = \{ bx \,:\,b \in \mathbb{R}\}.\)

8.2.1 Solutions d’un système linéaire

Soit \(T:V\rightarrow W\) une application linéaire. Supposons qu’on vous demande de trouver toutes les solutions de \(T(\mathbf{x}) = \mathbf{b}\) pour \(\mathbf{b} \in W.\) Si une solution a été trouvée, disons \(\tilde{\mathbf{x}},\) alors l’ensemble de toutes les solutions est donné par \(\{\tilde{\mathbf{x}} + \mathbf{d} \,:\,\mathbf{d} \in \ker(T)\}.\) Autrement dit, la connaissance d’une seule solution et la description du noyau de \(T\) donnent toutes les solutions de \(T(\mathbf{x}) = \mathbf{b}.\) On dit que le vecteur \(\tilde{\mathbf{x}}\) est une solution particulière.

Lorsque \(T(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x},\) ceci revient à dire que pour spécifier toutes les solutions de \(\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b},\) nous avons seulement besoin d’une solution particulière et d’une description du noyau de \(\mathbf{A}.\)

Exercices

  1. Déterminez le noyau de chacune des applications linéaires suivantes.
    1. \(T(ax+b) = a-b\), où \(a,b\in \mathbb{R}.\)
    2. \(T(\mathbf{u}) = \mathbf{A}\mathbf{u}\), où \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3.\)
  2. Soit \(T\) donné par \(T(\mathbf{v}) = \mathbf{A}\mathbf{v}\), où \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}.\) Supposons que le rang de \(\mathbf{A}\) soit \(n.\) Montrez que le noyau de \(T\) ne contient que le vecteur nul.

Solutions

  1. Les noyaux sont :
    1. \(\{ t(x+1) \,:\,t \in \mathbb{R}\}\)
    2. \(\left\{ t\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix} \,:\,t \in \mathbb{R}\right\}\)
  2. Soit \(\mathbf{v} \in \ker( T )\). Alors \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \mathbf{0},\) ce qui implique que \(\sum_{i = 1}^n v_i\mathbf{A}_i = \mathbf{0}\), où \(\mathbf{A}_i\) dénote la \(i\)-ième colonne de \(\mathbf{A}\). Puisque le rang de \(\mathbf{A}\) est \(n,\) qui est égal au nombre de colonnes, les colonnes de \(\mathbf{A}\) sont linéairement indépendantes. Ceci implique que \(v_1 = \cdots = v_n = 0,\) d’où \(\mathbf{v} = \mathbf{0}.\)