4.2 Associativité de la multiplication de matrices
Soit \(S\) un anneau. Soient \(\mathbf{A} \in S^{m\times p},\) \(\mathbf{B} \in S^{p \times n},\) et \(\mathbf{Q}\) le produit \(\mathbf{A}\mathbf{B}.\)
La \(i\)-ième ligne de \(\mathbf{Q}\) est donnée par \(\mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}\), où \(\mathbf{A}_{i,}\) dénote la \(i\)-ième ligne de \(\mathbf{A}\).
Par exemple, si \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\), alors la deuxième ligne de \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) est \[\begin{bmatrix} 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 9 \end{bmatrix}.\]
Rappelons que d’après la définition du produit de matrices, la \(j\)-ième colonne de \(\mathbf{Q}\) est \(\mathbf{A} \mathbf{B}_j\), où \(\mathbf{B}_j\) dénote la \(j\)-ième colonne de \(\mathbf{B}\).
Ainsi, \(q_{i,j}\), l’élément à la \(j\)-ième colonne de \(\mathbf{A}_{i,}\mathbf{B}\), est \[\mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}_j = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \cdots + a_{i,p}b_{p,j}.\]
D’après l’exemple ci-dessus, l’élément \((3,2)\) de \(\mathbf{A}\mathbf{B}\) est donné par \(\begin{bmatrix} 4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3\end{bmatrix} = 4\).
La multiplication de matrices n’est pas nécessairement commutative, mais elle est associative.
Théorème 4.1 Soit \(S\) un anneau. Si \(\mathbf{A} \in S^{m\times p},\) \(\mathbf{B} \in S^{p \times q}\) et \(\mathbf{C} \in S^{q \times n},\) alors \[\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}.\]
Le théorème 4.1 permet de simplifier plusieurs expressions matricielles. En particulier, nous pouvons écrire \(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}\) sans avoir à se soucier de l’ordre dans lequel la multiplication est effectuée.
Démonstration. (Théorème 4.1) Soit \(\mathbf{A}_{i,}\) la \(i\)-ième ligne de \(\mathbf{A}\). Posons \(\mathbf{P} = \mathbf{B}\mathbf{C}\).
L’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\) est donné par \[\mathbf{A}_{i,}\mathbf{P}_j = a_{i,1} p_{1,j} + a_{i,2} p_{2,j} + \cdots + a_{i,p} p_{p,j}.\]
Mais \(\mathbf{P}_j = \mathbf{B}\mathbf{C}_j\). Ainsi, \(p_{s,j} = b_{s,1} c_{1,j} + b_{s,2} c_{2,j} + \cdots + b_{s,q} c_{q,j}\), ce qui donne \[\begin{align*} \mathbf{A}_{i,} \mathbf{P}_j =\; & a_{i,1} (b_{1,1} c_{1,j} + b_{1,2} c_{2,j} + \cdots + b_{1,q} c_{q,j}) \\ & + a_{i,2} (b_{2,1} c_{1,j} + b_{2,2} c_{2,j} + \cdots + b_{2,q} c_{q,j}) \\ & \vdots \\ & + a_{i,p} (b_{p,1} c_{1,j} + b_{p,2} c_{2,j} + \cdots + b_{p,q} c_{q,j}) \\ =\; & (a_{i,1} b_{1,1} + a_{i,2} b_{2,1} + \cdots + a_{i,p} b_{p,1}) c_{1,j} \\ & + (a_{i,1} b_{1,2} + a_{i,2} b_{2,2} + \cdots + a_{i,p} b_{p,2}) c_{2,j} \\ & \vdots \\ & + (a_{i,1} b_{1,q} + a_{i,2} b_{2,q} + \cdots + a_{i,p} b_{p,q}) c_{q,j} \\ =\; & (\mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}_1) c_{1,j} + (\mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}_2) c_{2,j} + \cdots + (\mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}_q) c_{q,j}. \end{align*}\]
Posons \(\mathbf{Q} = \mathbf{A}\mathbf{B}\). Alors \(q_{i,r} = \mathbf{A}_{i,} \mathbf{B}_r,\) d’où l’élément \((i,j)\) de \((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\) est \[\begin{align*} & q_{i,1} c_{1,j} + q_{i,2} c_{2,j} + \cdots + q_{i,q} c_{q,j} \\ =\; & (\mathbf{A}_{i,}\mathbf{B}_1) c_{1,j} + (\mathbf{A}_{i,}\mathbf{B}_2) c_{2,j} + \cdots + (\mathbf{A}_{i,}\mathbf{B}_q) c_{q,j} \\ =\; & \mathbf{A}_{i,} \mathbf{P}_j. \end{align*}\]
Ainsi, l’élément \((i,j)\) de \(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})\) est identique à l’élément \((i,j)\) de \((\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\). Il s’ensuit que \(\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}\).
Exercices
Déterminez l’élément \((2,2)\) des matrices suivantes.
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)
Solutions
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