2.3 Module et conjugué d’un nombre complexe

Soit \(z = a+bi\) un nombre complexe où \(a,b\in \mathbb{R}\). Le conjugué de \(z\), que l’on dénote par \(\overline{z}\), est le nombre complexe \(a - bi\). On obtient le conjugué de \(z\) tout simplement en changeant le signe de la partie imaginaire. Par exemple,

  1. \(\overline{4} = 4\) car la partie imaginaire de \(4\) est \(0\).

  2. \(\overline{1+2i} = 1 - 2i\).

  3. \(\overline{3i} = - 3i\).

Le module de \(z\), que l’on écrit \(\left\lvert{z}\right\rvert\), est le nombre réel donné par \(\sqrt{a^2+b^2}\). Notons que cette quantité peut aussi s’écrire comme \(\sqrt{z~\overline{z}}\). Par exemple,

  1. Si \(z = 1+2i\), alors \(\left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).

  2. Si \(z = 3-4i\), alors \(\left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\).

  3. Si \(z = 2i\), alors \(\left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2\).

  4. Si \(z = 3\), alors \(\left\lvert{z}\right\rvert = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3\).

La mémorisation de la formule pour trouver un inverse n’est pas nécessaire si on utilise la notion du conjugué d’un nombre complexe. Par exemple, pour exprimer \(\displaystyle\frac{1}{1+i}\) sous la forme \(p+qi\), où \(p,q \in \mathbb{R}\), on multiplie et le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, comme ceci : \[\begin{align*} \frac{1}{1+i} & = \frac{1}{1+i} \frac{\overline{1+i}}{\overline{1+i}} \\ & = \frac{1}{1+i} \frac{1-i}{1-i} \\ & = \frac{(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\ & = \frac{1-i}{1-i^2} \\ & = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \end{align*}\]

On peut aussi simplifier le calcul de la division de \(z\) par \(w\) en utilisant le même truc : \(\displaystyle\frac{z}{w} = \frac{z}{w}\frac{\overline{w}}{\overline{w}}\). Par exemple, \[\frac{3+2i}{2-i} =\frac{3+2i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} =\frac{4+7i}{2^2-i^2} =\frac{4+7i}{4+1} = \frac{4}{5} + \frac{7}{5}i.\]

La notion de module d’un nombre complexe généralise la notion de valeur absolue d’un nombre réel; si \(z\) est un nombre réel, le module de \(z\) est simplement la valeur absolue de \(z\). Par exemple, le module de \(-2\) est \(2\).

2.3.1 Propriétés du module

Il peut être utile de se souvient des propriétés suivantes. Soient \(z, w\in \mathbb{C}\). Alors,

  1. \(\left\lvert{\overline{z}}\right\rvert = \left\lvert{z}\right\rvert\).

  2. \(\left\lvert{-z}\right\rvert = \left\lvert{z}\right\rvert\).

  3. Si \(\left\lvert{z}\right\rvert = 0\), alors \(z = 0\).

  4. \(\left\lvert{z w}\right\rvert = \left\lvert{z}\right\rvert \left\lvert{w}\right\rvert\).

  5. \(\displaystyle\left\lvert{\frac{z}{w}}\right\rvert = \frac{\left\lvert{z}\right\rvert}{\left\lvert{w}\right\rvert}\).

  6. \(\left\lvert{z+w}\right\rvert \leq \left\lvert{z}\right\rvert + \left\lvert{w}\right\rvert\). (Cette relation est aussi connue sous le nom l’inégalité triangulaire.)

Exercices

  1. Déterminez le conjugué des nombres complexes suivants :

    1. \(2i\)

    2. \(\displaystyle -2+\frac{3}{5}i\)

    3. \(\pi\)

  2. Soient \(z\) et \(w\) des nombres complexes. Montrez que

    1. \(\overline{\overline{z}} = z\).

    2. \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\).

    3. \(\overline{z w} = \overline{z}\,\overline{w}\).

    4. \(\displaystyle\overline{z^{-1}} = (\overline{z})^{-1}\).

  3. Soient \(z = 2i\) et \(w = -2+i\). Évaluer les expressions suivantes.

    1. \(\left\lvert{\overline{z}}\right\rvert\)

    2. \(\left\lvert{zw}\right\rvert\)

    3. \(\left\lvert{z^4}\right\rvert\)

    4. \(\left\lvert{\frac{1}{z}}\right\rvert\)

Solutions

    1. \(-2i\)

    2. \(-2-\frac{3}{5}\)

    3. \(\pi\)

  2. Supposons que \(z = a+bi\) et \(w = c+di\), où \(a,b,c,d\in \mathbb{R}.\)

    1. \(\overline{\overline{z}} = \overline{\overline{a+bi}}=\overline{a+(-b)i} = a+(-(-b))i=a+bi=z.\)

    2. Notons que \[\begin{align*} \overline{z + w} & = \overline{a+bi+c+di} \\ & = \overline{(a+c)+(b+d)i} \\ & = (a+c)+(-(b+d))i \\ & = (a+c)+((-b)+(-d))i \\ & = a+(-b)i + c+(-d)i \\ & =\overline{z} + \overline{w}. \end{align*}\]

    3. Notons que \[\begin{align*} \overline{z w} & = \overline{(a+bi)(c+di)} \\ & = \overline{(ac-bd)+(ad+bc)i} \\ & = (ac-bd)-(ad+bc)i \end{align*}\] et \[\begin{align*} \overline{z}\,\overline{w} & = (a-bi)(c-di) \\ & = (ac-bd)-(ad+bc)i. \end{align*}\]

    4. Notons que \[\begin{align*} \overline{z^{-1}} & = \overline{\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i} \\ & = \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2}i \end{align*}\] et \[\begin{align*} (\overline{z})^{-1} & = (a+(-b)i)^{-1} \\ & = \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{a^2+b^2}i. \end{align*}\]

    1. \(2\)

    2. \(2\sqrt{5}\)

    3. \(16\)

    4. \(\frac{1}{2}\)