10.5 Projection orthogonale

Soit \(V\) un espace vectoriel muni d’un produit scalaire et \(W\) un sous-espace de \(V\). Le théorème 10.3 indique que pour chaque \(\mathbf{x} \in V\), il existe deux vecteurs uniques \(\mathbf{y} \in W\) et \(\mathbf{z} \in W^\perp\) tels que \(\mathbf{x} = \mathbf{y} + \mathbf{z}.\) Le vecteur \(\mathbf{y}\) est appelé la projection orthogonale de \(\mathbf{x}\) dans \(W\) et est dénotée par \(\operatorname{proj}_W \mathbf{x}\).

Théorème 10.4 Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire et \(W\) un sous-espace de \(V\) de dimension \(k\). Si \(\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}\) est une base orthonormée de \(W,\) alors \[\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \mathbf{u}^{(i)}\] pour tout \(\mathbf{x} \in V.\)

Démonstration. On commence par construire \(\mathbf{u}^{(k+1)},\ldots, \mathbf{u}^{(n)}\) tels que \(\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right.\}\) est une base orthonormée de \(V\). Notons que \(\left\{\mathbf{u}^{(k+1)},\ldots, \mathbf{u}^{(n)}\right\}\) est une base de \(W^\perp\) dans ce cas.

Puisque \(\mathbf{x} \in V\), il existe des scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) tels que \(\mathbf{x} = \lambda_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots + \lambda_n \mathbf{u}^{(n)}.\) Ainsi, \(\mathbf{x} = \mathbf{y} + \mathbf{z},\) où \(\mathbf{y} = \displaystyle\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf{u}^{(i)} \in W\) et \(\mathbf{z} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i \mathbf{u}^{(i)} \in W^\perp\). Il vient \[\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \mathbf{y} = \sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf{u}^{(i)}.\]

Pour chaque \(i = 1,\ldots, k\), on constate que \[\begin{align*} \langle { \mathbf{y} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle & = \langle { \lambda_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots + \lambda_k \mathbf{u}^{(k)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_1 \langle { \mathbf{u}^{(1)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle + \cdots + \lambda_k \langle { \mathbf{u}^{(k)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_i \langle { \mathbf{u}^{(i)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_i \|\mathbf{u}^{(i)}\|^2 \\ & = \lambda_i, \end{align*}\] tel que désiré.

Corollaire 10.2 Soit \(V\) un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire et \(W\) un sous-espace de \(V\) de dimension \(k\). Si \(\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}\) est une base orthogonale de \(W\), alors \[\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \sum_{i=1}^k \frac{\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}^{(i)}},{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle} \mathbf{u}^{(i)}\] pour tout \(\mathbf{x} \in V\),

Exemple 10.5 Considérons l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire usuel. Soit \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{bmatrix}\). Déterminons la projection orthogonale de \(\mathbf{x}\) dans \(W = \operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u},\mathbf{v}} \right),\) où \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}\).

On observe que \(\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}\) est une base orthogonale de \(W\). Ainsi, \[\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{x} & = \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{u} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle } \mathbf{u} + \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{v} } \rangle}{\langle { \mathbf{v}},{\mathbf{v}} \rangle }\mathbf{v} \\ & = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \frac{-2}{3}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{7}{6} \\ -\frac{1}{6} \end{bmatrix} \end{align*}\]

Exercices

  1. Considérons l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire standard. Soit \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\). Trouvez la projection orthogonale de \(\mathbf{x}\) dans \(\operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u},\mathbf{v}} \right),\) où \(\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\) et \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}\).

  2. Soit \(V\) un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Soit \(W\) un sous-espace de \(V\) ayant une base orthonormée donnée par \(\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}\). Démontrez que \[\operatorname{proj}_W (\operatorname{proj}_W \mathbf{x}) = \operatorname{proj}_W \mathbf{x}\] pour tout \(\mathbf{x} \in V.\)

Solutions

  1. Soit \(W = \operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u}, \mathbf{v}} \right).\) Observons que \(\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}\) est une base orthogonale de \(W\). Donc, \[\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{x} & = \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{u} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle } \mathbf{u} + \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{v} } \rangle}{\langle { \mathbf{v}},{\mathbf{v}} \rangle }\mathbf{v} \\ & = \frac{3}{6}\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \frac{0}{3}\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align*}\]

  2. Soit \(\mathbf{y} = \operatorname{proj}_W \mathbf{x}.\) D’après le théorème 10.4, nous avons \[\mathbf{y} = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x}},{\mathbf{u}^{(i)}} \rangle \mathbf{u}^{(i)}.\] On en déduit que \[\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{y} & = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{y}},{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle \mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \langle { \sum_{j=1}^k \langle { \mathbf{x}},{\mathbf{u}^{(j)}} \rangle \mathbf{u}^{(j)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle\mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \left( \sum_{j=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(j)}} \rangle \langle {\mathbf{u}^{(j)} },{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle\right) \mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle\mathbf{u}^{(i)} \\ & = \mathbf{y}, \end{align*}\] tel que désiré.