10.5 Projection orthogonale

Soit $V$ un espace vectoriel muni d’un produit scalaire et $W$ un sous-espace de $V$. Le théorème 10.3 indique que pour chaque $\mathbf{x} \in V$, il existe deux vecteurs uniques $\mathbf{y} \in W$ et $\mathbf{z} \in W^\perp$ tels que $\mathbf{x} = \mathbf{y} + \mathbf{z}.$ Le vecteur $\mathbf{y}$ est appelé la projection orthogonale de $\mathbf{x}$ dans $W$ et est dénotée par $\operatorname{proj}_W \mathbf{x}$.

Théorème 10.4 Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire et $W$ un sous-espace de $V$ de dimension $k$. Si $\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}$ est une base orthonormée de $W,$ alors $$\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \mathbf{u}^{(i)}$$ pour tout $\mathbf{x} \in V.$

Démonstration. On commence par construire $\mathbf{u}^{(k+1)},\ldots, \mathbf{u}^{(n)}$ tels que $\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right.\}$ est une base orthonormée de $V$. Notons que $\left\{\mathbf{u}^{(k+1)},\ldots, \mathbf{u}^{(n)}\right\}$ est une base de $W^\perp$ dans ce cas.

Puisque $\mathbf{x} \in V$, il existe des scalaires $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que $\mathbf{x} = \lambda_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots + \lambda_n \mathbf{u}^{(n)}.$ Ainsi, $\mathbf{x} = \mathbf{y} + \mathbf{z},$ où $\mathbf{y} = \displaystyle\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf{u}^{(i)} \in W$ et $\mathbf{z} = \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} \lambda_i \mathbf{u}^{(i)} \in W^\perp$. Il vient $$\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \mathbf{y} = \sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf{u}^{(i)}.$$

Pour chaque $i = 1,\ldots, k$, on constate que $$\begin{align*} \langle { \mathbf{y} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle & = \langle { \lambda_1 \mathbf{u}^{(1)} + \cdots + \lambda_k \mathbf{u}^{(k)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_1 \langle { \mathbf{u}^{(1)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle + \cdots + \lambda_k \langle { \mathbf{u}^{(k)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_i \langle { \mathbf{u}^{(i)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle \\ & = \lambda_i \|\mathbf{u}^{(i)}\|^2 \\ & = \lambda_i, \end{align*}$$ tel que désiré.

Corollaire 10.2 Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire et $W$ un sous-espace de $V$ de dimension $k$. Si $\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}$ est une base orthogonale de $W$, alors $$\operatorname{proj}_W \mathbf{x} = \sum_{i=1}^k \frac{\langle { \mathbf{u} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}^{(i)}},{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle} \mathbf{u}^{(i)}$$ pour tout $\mathbf{x} \in V$,

Exemple 10.5 Considérons l’espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel. Soit $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{bmatrix}$. Déterminons la projection orthogonale de $\mathbf{x}$ dans $W = \operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u},\mathbf{v}} \right),$ où $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$ et $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}$.

On observe que $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ est une base orthogonale de $W$. Ainsi, $$\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{x} & = \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{u} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle } \mathbf{u} + \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{v} } \rangle}{\langle { \mathbf{v}},{\mathbf{v}} \rangle }\mathbf{v} \\ & = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \frac{-2}{3}\begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{7}{6} \\ -\frac{1}{6} \end{bmatrix} \end{align*}$$

Exercices

1. Considérons l’espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire standard. Soit $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$. Trouvez la projection orthogonale de $\mathbf{x}$ dans $\operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u},\mathbf{v}} \right),$ où $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$ et $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$.

2. Soit $V$ un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Soit $W$ un sous-espace de $V$ ayant une base orthonormée donnée par $\left\{\mathbf{u}^{(1)},\ldots, \mathbf{u}^{(k)}\right\}$. Démontrez que $$\operatorname{proj}_W (\operatorname{proj}_W \mathbf{x}) = \operatorname{proj}_W \mathbf{x}$$ pour tout $\mathbf{x} \in V.$

Solutions

1. Soit $W = \operatorname{Vect}\left ({\mathbf{u}, \mathbf{v}} \right).$ Observons que $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}$ est une base orthogonale de $W$. Donc, $$\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{x} & = \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{u} } \rangle}{\langle { \mathbf{u}},{\mathbf{u}} \rangle } \mathbf{u} + \frac{\langle { \mathbf{x}},{ \mathbf{v} } \rangle}{\langle { \mathbf{v}},{\mathbf{v}} \rangle }\mathbf{v} \\ & = \frac{3}{6}\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \frac{0}{3}\begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align*}$$

2. Soit $\mathbf{y} = \operatorname{proj}_W \mathbf{x}.$ D’après le théorème 10.4, nous avons $$\mathbf{y} = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x}},{\mathbf{u}^{(i)}} \rangle \mathbf{u}^{(i)}.$$ On en déduit que $$\begin{align*} \operatorname{proj}_W \mathbf{y} & = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{y}},{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle \mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \langle { \sum_{j=1}^k \langle { \mathbf{x}},{\mathbf{u}^{(j)}} \rangle \mathbf{u}^{(j)} },{ \mathbf{u}^{(i)} } \rangle\mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \left( \sum_{j=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(j)}} \rangle \langle {\mathbf{u}^{(j)} },{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle\right) \mathbf{u}^{(i)} \\ & = \sum_{i=1}^k \langle { \mathbf{x} },{ \mathbf{u}^{(i)}} \rangle\mathbf{u}^{(i)} \\ & = \mathbf{y}, \end{align*}$$ tel que désiré.