1.1 Ensembles
Un ensemble est une collection d’objets distincts qui sont bien définis. Les objets d’un ensemble sont appelés élements ou membres de l’ensemble.
Il est possible de spécifier un ensemble de plusieurs façons :
en donnant une règle ou une description verbale. Par exemple, on peut décrire l’ensemble \(A\) de la façon suivante « \(A\) l’ensemble de tous les entiers impairs ».
en mettant une liste d’éléments entre parenthèses. Par exemple, \(\{2,4,5\}\) dénote l’ensemble contenant les trois nombres 2, 4 et 5. \(\{1,3,5,\ldots,99\}\) dénote l’ensemble des nombres impaires de 1 jusqu’à 99.
en utilisant la notation pour la construction d’ensembles : \(\{f(x) \,:\,P(x)\}\) où \(f(x)\) est une expression utilisant \(x\) et \(P(x)\) est une propriété satisfaite par \(x\). Pour chaque \(x\) tel que \(P(x)\) est vrai, \(f(x)\) est une élément de l’ensemble. Par exemple, \(\{ 2n \,:\,n \text{ est un entier}\}\).
Voici les symboles associés à certains ensembles communs :
\(\emptyset\) dénote l’ensemble vide, l’ensemble n’ayant aucun membre.
\(\mathbb{N}\) dénote l’ensemble des nombres naturels, c’est-à-dire \(\{0,1,2,3,\ldots\}\). (Notez que certaines références excluent le 0 comme un entier naturel.)
\(\mathbb{Z}\) dénote l’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire \(\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\).
\(\mathbb{Q}\) dénote l’ensemble des nombres rationnels.
\(\mathbb{R}\) dénote l’ensemble des nombres réels.
\(\mathbb{C}\) dénote l’ensemble des nombres complexes.
1.1.1 Égalité entre ensembles
Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont dits égaux, dénoté par \(A = B\), si \(A\) et \(B\) contiennent les mêmes éléments. Autrement dit, leur égalité ne dépend pas de la façon dont ils sont définis.
Par exemple, si \(A = \{ 1,2,3 \}\) et \(B = \{ (-1)^2, \sqrt{4}, \log_2 8 \}\), alors \(A = B\) même si \(A\) et \(B\) semblent, en surface, contenir des éléments différents.
En général, afin de démontrer que \(A = B\), nous devons démontrer deux choses : \(A \subseteq B\) et \(B \subseteq A\); c’est-à-dire, \(x \in A\) si et seulement si \(x \in B\). Nous verrons des preuves utilisant les ensembles plus tard.
1.1.2 Notations communes pour les ensembles
Soient \(A\) et \(B\) des ensembles.
\(\lvert A \rvert\), la cardinalité de \(A\), dénote le nombre d’éléments de \(A\). Par exemple, si \(A = \{ (1,2), (3,4) \}\), alors \(\lvert A \rvert = 2\).
\(A = B\) si et seulement si ils ont précisément les mêmes éléments. Par exemple, si \(A = \{4, 9\}\) et \(B = \{ n^2 \,:\,n = 2 \text{ or } n = 3 \}\), alors \(A = B\).
\(A \subseteq B\) si et seulement si chaque éléments de \(A\) est aussi un élément de \(B\). On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble de \(B\). Par exemple, \(\{1,8, 1107\} \subseteq \mathbb{N}\).
\(a \in A\) signifie que \(a\) est un membre de \(A\). Par exemple, \(5 \in \mathbb{Q}\)
\(a \notin A\) signifie que \(a\) n’est pas une membre de \(A\). Par exemple, \(\frac{2}{7} \notin \mathbb{Z}\)
\(A \cap B\) dénote l’ensemble contenant les élément qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B,\) que l’on dénomme l’intersection de \(A\) et de \(B\). Par exemple, si \(A = \{1,2\}\) et \(B = \{2,3\}\), alors \(A \cap B = \{2\}\).
\(A \cup B\) dénote l’ensemble contenant les éléments qui sont soit dans \(A\) ou dans \(B\) ou dans les deux, que l’on dénomme l’union de \(A\) et de \(B\). Par exemple, si \(A = \{1,2\}\) et \(B = \{2,3\}\), alors \(A \cup B = \{1,2,3\}\).
\(A \backslash B\) dénote l’ensemble contenant les éléments qui sont dans \(A\) mais pas dans \(B\), \(A \backslash B\) se lit « \(A\) sans \(B\) ». Par exemple, si \(A = \{1,2\}\) et \(B = \{2,3\}\), alors \(A \backslash B = \{1\}\).
Exercices
Soit \(A = \{1,3,5,7\}\) et \(B = \{0,3,6,7,9\}\). Décrivez les ensembles suivants :
\(A\cup B\), \(A \cap B\) et \(A \backslash B\).Lequel des nombres suivants est membre de \(\mathbb{Q}\cap \{ a \,:\,a \in \mathbb{R}\) et \(a > \sqrt{2}\}\)?
0
5
\(\sqrt{3}\)
Solutions
Les ensembles sont :
\(A\cup B = \{0,1,3,5,6,7,9\}\)
\(A\cap B = \{3,7\}\)
\(A\cup B = \{1,5\}\)
Pas un membre.
Est un membre.
Pas un membre.