6.12 Rang d’une matrice

Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}$, $\mathbb{K}$ un corps. Il est possible de démontrer que $\dim({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}) = \dim({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}).$ La dimension de l’espace des lignes ou de l’espace des colonnes de $\mathbf{A}$ est appelé le rang de $\mathbf{A}$, que l’on dénote par $\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right)$. Ainsi, la matrice $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$ est de $\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = 2$.

Si $\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = \min(m,n)$, on dit que $\mathbf{A}$ est de plein rang.

La nullité de $\mathbf{A}$, dénoté par $\operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right)$, est la dimension du noyau de $\mathbf{A}$. L’important résultat suivant fait un lien entre la nullité et le rang de $\mathbf{A}$:

Théorème 6.3 (Théorème du rang) Soit $\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}$, $\mathbb{K}$ un corps. Alors $$\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) = n.$$

Démonstration. Rappelons que les opérations élémentaires sur les lignes n’affectent pas ni l’espace des lignes ni le noyau de $\mathbf{A}$. Soit $\mathbf{R}$ la matrice forme échelonnée réduite obtenue de $\mathbf{A}$ par des opérations élémentaires sur les lignes. Alors, $\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = \operatorname{rang}\left ({\mathbf{R}} \right)$ et $\operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) = \operatorname{null}\left ({\mathbf{R}} \right)$.

Soit $k$ le nombre de pivots de $\mathbf{R}$. La dimension de l’espace des lignes de $\mathbf{R}$ est alor $k$ et la dimension du noyau de $\mathbf{R}$ et $n-k$, le nombre de colonnes libres de $\mathbf{R}.$ Ainsi, $$\begin{align*} \operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) & = \operatorname{rang}\left ({\mathbf{R}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{R}} \right) \\ & = k+ (n-k)=n, \end{align*}$$ d’où le résultat recherché.

Exercices

1. Calculez le rang de $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.$

2. Est-ce que la nullité d’une matrice réelle de taille $4 \times 5$ peut être 0?

3. Soient $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ \end{bmatrix}$ et $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ des matrices réelles. Déterminez si ${\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = {\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}.$

Solutions

1. La FER est $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$ d’où elle est de rang $2.$

2. Non. Le rang d’une matrice $4\times 5$ est la dimension de l’espace des colonnes. Puisque l’espace des colonnes d’une telle matrice est un sous-espace de $\mathbb{R}^4$, cette dimension est inférieure ou égale $4$. Ainsi, d’après le théorème 6.3, la nullité est supérieure ou égale 1.

3. Notons premièrement que $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}$. Ainsi, chaque colonne de $\mathbf{B}$ appartient à ${\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}$, ce qui implique que ${\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}$ est un sous-espace de ${\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}$. La FER de $\mathbf{B}$ est $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, d’où $\mathbf{B}$ est de rang 2 et l’espace des colonnes de $\mathbf{B}$ est de dimension 2. La FER de $\mathbf{A}$ est $\begin{bmatrix} 1 & - 2 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$, d’où $\mathbf{A}$ est de rang 1. D’après le théorème 6.3, la nullité de $\mathbf{A}$ est 2. Ainsi, $\dim({\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}) = \dim{\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}).$ Puisque ${\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}$ est un sous-espace de ${\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}$, ils doivent donc être égaux d’après le théorème 6.2.