6.12 Rang d’une matrice
Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Il est possible de démontrer que \(\dim({\operatorname{Col}({\mathbf{A}})}) = \dim({\operatorname{Lgn}({\mathbf{A}})}).\) La dimension de l’espace des lignes ou de l’espace des colonnes de \(\mathbf{A}\) est appelé le rang de \(\mathbf{A}\), que l’on dénote par \(\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right)\). Ainsi, la matrice \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}\) est de \(\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = 2\).
Si \(\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = \min(m,n)\), on dit que \(\mathbf{A}\) est de plein rang.
La nullité de \(\mathbf{A}\), dénoté par \(\operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right)\), est la dimension du noyau de \(\mathbf{A}\). L’important résultat suivant fait un lien entre la nullité et le rang de \(\mathbf{A}\):
Théorème 6.3 (Théorème du rang) Soit \(\mathbf{A} \in \mathbb{K}^{m \times n}\), \(\mathbb{K}\) un corps. Alors \[\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) = n.\]
Démonstration. Rappelons que les opérations élémentaires sur les lignes n’affectent pas ni l’espace des lignes ni le noyau de \(\mathbf{A}\). Soit \(\mathbf{R}\) la matrice forme échelonnée réduite obtenue de \(\mathbf{A}\) par des opérations élémentaires sur les lignes. Alors, \(\operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) = \operatorname{rang}\left ({\mathbf{R}} \right)\) et \(\operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) = \operatorname{null}\left ({\mathbf{R}} \right)\).
Soit \(k\) le nombre de pivots de \(\mathbf{R}\). La dimension de l’espace des lignes de \(\mathbf{R}\) est alor \(k\) et la dimension du noyau de \(\mathbf{R}\) et \(n-k\), le nombre de colonnes libres de \(\mathbf{R}.\) Ainsi, \[\begin{align*} \operatorname{rang}\left ({\mathbf{A}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{A}} \right) & = \operatorname{rang}\left ({\mathbf{R}} \right) + \operatorname{null}\left ({\mathbf{R}} \right) \\ & = k+ (n-k)=n, \end{align*}\] d’où le résultat recherché.
Exercices
Calculez le rang de \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.\)
Est-ce que la nullité d’une matrice réelle de taille \(4 \times 5\) peut être 0?
Soient \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ \end{bmatrix}\) et \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\) des matrices réelles. Déterminez si \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})} = {\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}.\)
Solutions
La FER est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\) d’où elle est de rang \(2.\)
Non. Le rang d’une matrice \(4\times 5\) est la dimension de l’espace des colonnes. Puisque l’espace des colonnes d’une telle matrice est un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\), cette dimension est inférieure ou égale \(4\). Ainsi, d’après le théorème 6.3, la nullité est supérieure ou égale 1.
Notons premièrement que \(\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}\). Ainsi, chaque colonne de \(\mathbf{B}\) appartient à \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\), ce qui implique que \({\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}\) est un sous-espace de \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\). La FER de \(\mathbf{B}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), d’où \(\mathbf{B}\) est de rang 2 et l’espace des colonnes de \(\mathbf{B}\) est de dimension 2. La FER de \(\mathbf{A}\) est \(\begin{bmatrix} 1 & - 2 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\), d’où \(\mathbf{A}\) est de rang 1. D’après le théorème 6.3, la nullité de \(\mathbf{A}\) est 2. Ainsi, \(\dim({\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}) = \dim{\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}).\) Puisque \({\operatorname{Ker}({\mathbf{A}})}\) est un sous-espace de \({\operatorname{Col}({\mathbf{B}})}\), ils doivent donc être égaux d’après le théorème 6.2.